🌏 외대(글로벌) 예상 논술 1회

해설

1. 1.[도입] 시그마를 분리해 $\displaystyle \sum a_k$ 만 남긴 뒤, 부분합에서 일반항을 뽑는다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left(2a_k-3\right)=2\sum\limits_{k=1}^{n}a_k-3n$ 이므로 $\displaystyle 2\sum\limits_{k=1}^{n}a_k-3n=n^2+3n$
3. 3.[전개] 따라서 $\displaystyle S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\dfrac{n^2+6n}{2}$
4. 4.[전개] $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n^2+6n}{2}-\dfrac{(n-1)^2+6(n-1)}{2}=\dfrac{n^2+6n-n^2+2n-1-6n+6}{2}=\dfrac{2n+5}{2}$
5. 5.[전개] $\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle \dfrac{7}{2}=S_1=\dfrac{1+6}{2}$ 로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=\dfrac{2n+5}{2}$ 이다.
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle a_{10}=\dfrac{25}{2}$

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해설

1. 1.[도입] 두 근을 $\displaystyle s$ , $\displaystyle u$ 로 두고 근과 계수의 관계를 쓴다. 구하는 식도 밑변환으로 $\displaystyle s$ , $\displaystyle u$ 의 비로 바꾼다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_2 x=s$ , $\displaystyle \log_2 y=u$ 라 하면 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle s+u=8$ , $\displaystyle su=12$ 이다. 실제로 $\displaystyle t^2-8t+12=(t-2)(t-6)$ 이므로 두 근은 $\displaystyle 2$ 와 $\displaystyle 6$ 이고, $\displaystyle x<y$ 이므로 $\displaystyle s=2$ , $\displaystyle u=6$ 이다.
3. 3.[전개] 밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_x y=\dfrac{\log_2 y}{\log_2 x}=\dfrac{u}{s}$ , $\displaystyle \log_y x=\dfrac{s}{u}$
4. 4.[전개] 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \dfrac{u}{s}+\dfrac{s}{u}=\dfrac{s^2+u^2}{su}$ 이고, $\displaystyle s^2+u^2=(s+u)^2-2su=64-24=40$ 이다.
5. 5.[전개] 또 $\displaystyle \log_2(xy)=\log_2 x+\log_2 y=s+u=8$ 이므로 $\displaystyle xy=2^8=256$ 이다.
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle xy=256$ 이고 구하는 값은 $\displaystyle \dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}$ 이다. ($\displaystyle s=2$ , $\displaystyle u=6$ 을 직접 넣어도 $\displaystyle 3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$ 으로 같다.)

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해설

1. 1.[도입] 첫 조건은 차수와 최고차항을, 둘째 조건은 인수를 준다. 두 정보로 $\displaystyle f$ 를 인수분해된 꼴로 쓴다.
2. 2.[전개] 첫 조건에서 $\displaystyle f$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 3$ 인 이차함수이다.
3. 3.[전개] 둘째 조건에서 $\displaystyle x\to 2$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle f(2)=0$ 이고, 따라서 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가진다.
4. 4.[전개] 즉 $\displaystyle f(x)=(x-2)(3x+d)$ 로 놓을 수 있다. 둘째 조건에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(3x+d)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(3x+d)=6+d=5$ 이므로 $\displaystyle d=-1$
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle f(x)=(x-2)(3x-1)$ 이다.
6. 6.[결론] $\displaystyle f(4)=(4-2)(12-1)=2\times 11=22$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f'$ 를 적분해 상수 $\displaystyle C$ 를 포함한 $\displaystyle f$ 를 쓰고, 두 극값을 $\displaystyle C$ 로 나타낸 뒤 조건 (나)로 $\displaystyle C$ 를 정한다. $\displaystyle f(0)$ 이 곧 $\displaystyle C$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=3$ 에서 극소이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int\left(3x^2-6x-9\right)dx=x^3-3x^2-9x+C$ 이고 $\displaystyle f(0)=C$ 이다.
4. 4.[전개] 극댓값은 $\displaystyle f(-1)=-1-3+9+C=5+C$ , 극솟값은 $\displaystyle f(3)=27-27-27+C=C-27$
5. 5.[전개] 조건 (나)에서 $\displaystyle (5+C)(C-27)=-135$ , 즉 $\displaystyle C^2-22C-135=-135$ 이므로 $\displaystyle C^2-22C=0$ , $\displaystyle C(C-22)=0$
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle C=0$ 또는 $\displaystyle C=22$ 이고, $\displaystyle f(0)=C$ 이므로 $\displaystyle f(0)=0$ 또는 $\displaystyle f(0)=22$ 이다. 두 경우 모두 극댓값과 극솟값의 곱이 $\displaystyle 5\times(-27)=-135$ , $\displaystyle 27\times(-5)=-135$ 로 조건을 만족시킨다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=c$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=b$ 로 두면 넓이 조건이 $\displaystyle bc$ 를, 코사인법칙이 $\displaystyle b^2+c^2$ 을 준다. 둘을 합쳐 $\displaystyle (b+c)^2$ 을 만든다.
2. 2.[전개] 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}bc\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}bc$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}bc=6\sqrt{3}$ , 즉 $\displaystyle bc=24$
3. 3.[전개] 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=b^2+c^2-2bc\cos\dfrac{\pi}{3}$ 이므로 $\displaystyle 36=b^2+c^2-2\times 24\times\dfrac{1}{2}=b^2+c^2-24$
4. 4.[전개] 따라서 $\displaystyle b^2+c^2=60$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle (b+c)^2=b^2+c^2+2bc=60+48=108$
6. 6.[결론] 길이는 양수이므로 $\displaystyle b+c=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 로그의 진수 조건을 먼저 구하고, 로그의 합을 하나로 묶어 이차부등식으로 바꾼다. 마지막에 두 범위의 공통부분을 취한다.
2. 2.[전개] 진수가 모두 양수여야 하므로 $\displaystyle x-1>0$ 이고 $\displaystyle x+5>0$ , 즉 $\displaystyle x>1$ 이다. $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.[전개] 로그의 합을 묶으면 $\displaystyle \log_3\left\{(x-1)(x+5)\right\}\le 3=\log_3 27$ 이고, 밑 $\displaystyle 3$ 이 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 진수의 대소가 유지된다. 즉 $\displaystyle (x-1)(x+5)\le 27$
4. 4.[전개] 정리하면 $\displaystyle x^2+4x-32\le 0$ , 즉 $\displaystyle (x+8)(x-4)\le 0$ 이므로 $\displaystyle -8\le x\le 4$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
5. 5.[전개] ㉠과 ㉡의 공통 범위는 $\displaystyle 1<x\le 4$ 이다.
6. 6.[전개] 이 범위의 정수는 $\displaystyle 2,\,3,\,4$ 의 $\displaystyle 3$ 개이다.
7. 7.[결론] 가장 큰 값은 $\displaystyle 4$ , 가장 작은 값은 $\displaystyle 2$ 이므로 곱은 $\displaystyle 8$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 두 근과 최고차항의 계수를 알므로 $\displaystyle f(x)=x(x-2)(x-r)$ 로 놓고, $\displaystyle f'(0)=2$ 로 $\displaystyle r$ 을 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=x(x-2)(x-r)$ 로 놓으면 $\displaystyle f'(x)$ 를 곱의 미분법으로 구할 수 있지만, $\displaystyle x=0$ 에서는 $\displaystyle x$ 를 미분한 항만 남으므로 $\displaystyle f'(0)=(0-2)(0-r)=2r$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f'(0)=2$ 이므로 $\displaystyle 2r=2$ , 즉 $\displaystyle r=1$ 이고 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$
4. 4.[전개] $\displaystyle f(x)=0$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ 이므로 둘러싸인 부분은 두 개다. $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x-1<0$ , $\displaystyle x-2<0$ 이므로 $\displaystyle f>0$ 이고, $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x-1>0$ , $\displaystyle x-2<0$ 이므로 $\displaystyle f<0$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(x^3-3x^2+2x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1=\dfrac{1}{4}-1+1=\dfrac{1}{4}$
6. 6.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(x^3-3x^2+2x\right)dx=(4-8+4)-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$ 이므로 이 부분의 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ 이다.
7. 7.[결론] 따라서 전체 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ 이다.

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