🌏 외대(글로벌) 예상 논술 9회

해설

1. 1.[도입] 첨자의 차가 공차의 배수이므로 첫째항을 구하지 않아도 된다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a_7-a_3=4d$ 이므로 $\displaystyle 22-10=4d$ , 즉 $\displaystyle d=3$
3. 3.[전개] $\displaystyle a_{15}=a_7+8d$ 이다.
4. 4.[결론] $\displaystyle a_{15}=22+8\times 3=22+24=46$

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해설

1. 1.[도입] 우변을 하나의 로그로 정리한 뒤 양변의 진수를 비교한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle 3\log_2 3=\log_2 3^3=\log_2 27$ 이므로 $\displaystyle 3\log_2 3-\log_2 27=\log_2 27-\log_2 27=0$
3. 3.[전개] 또 $\displaystyle 1=\log_2 2$ 이므로 우변은 $\displaystyle 0+\log_2 2=\log_2 2$
4. 4.[전개] 따라서 $\displaystyle \log_2 x=\log_2 2$ 이고, 로그함수는 일대일대응이므로 진수를 비교할 수 있다.
5. 5.[결론] 즉 $\displaystyle x=2$ 이고, 이는 $\displaystyle x>0$ 을 만족시킨다.

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해설

1. 1.[도입] 분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가는데 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\left(f(x)-3\right)=0$ 이고 $\displaystyle f$ 가 연속이므로 $\displaystyle f(2)-3=0$ , 즉 $\displaystyle f(2)=3$
3. 3.[전개] $\displaystyle \left(f(x)\right)^2-9=\left(f(x)-3\right)\left(f(x)+3\right)$ 으로 인수분해한다.
4. 4.[전개] 따라서 $\displaystyle \dfrac{\left(f(x)\right)^2-9}{x-2}=\dfrac{f(x)-3}{x-2}\times\left(f(x)+3\right)$
5. 5.[전개] $\displaystyle x\to 2$ 일 때 첫 인수는 $\displaystyle 5$ 로, 둘째 인수는 $\displaystyle f(2)+3=6$ 으로 수렴한다.
6. 6.[결론] 따라서 극한값은 $\displaystyle 5\times 6=30$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f'$ 를 적분해 $\displaystyle f$ 를 구하고, $\displaystyle f(0)=2$ 로 적분상수를 정한 뒤 다시 적분한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-4x+1)\,dx=x^3-2x^2+x+C$
3. 3.[전개] $\displaystyle f(0)=C=2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-2x^2+x+2$
4. 4.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(x^3-2x^2+x+2\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_0^2$
5. 5.[전개] $\displaystyle =\left(4-\dfrac{16}{3}+2+4\right)-0=10-\dfrac{16}{3}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =\dfrac{30-16}{3}=\dfrac{14}{3}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \sin x=t$ 로 치환하면 $\displaystyle t$ 에 대한 이차부등식이 된다. $\displaystyle t$ 의 범위는 $\displaystyle -1\le t\le 1$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle 2t^2-t-1\ge 0$ 에서 $\displaystyle (2t+1)(t-1)\ge 0$ 이므로 $\displaystyle t\le-\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t\ge 1$
3. 3.[전개] $\displaystyle t$ 의 범위가 $\displaystyle -1\le t\le 1$ 이므로 조건은 $\displaystyle -1\le t\le-\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t=1$ 이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle \sin x=1$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle -1\le\sin x\le-\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 를 찾는다. $\displaystyle \sin x=-\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle \dfrac{7\pi}{6}$ , $\displaystyle \dfrac{11\pi}{6}$ 이고, 그 사이에서 $\displaystyle \sin x\le-\dfrac{1}{2}$ 이다.
6. 6.[결론] 따라서 해는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle \dfrac{7\pi}{6}\le x\le\dfrac{11\pi}{6}$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 세 변을 알므로 코사인법칙으로 $\displaystyle \cos\mathrm{A}$ 를 구한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \cos\mathrm{A}=\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2-\overline{\mathrm{BC}}^2}{2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}}=\dfrac{16+16-32}{2\times 4\times 4}=\dfrac{0}{32}=0$
3. 3.[전개] 삼각형의 내각이므로 $\displaystyle 0<\mathrm{A}<\pi$ 이고, 이 범위에서 $\displaystyle \cos\mathrm{A}=0$ 인 각은 $\displaystyle \mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$ 이다.
4. 4.[전개] 즉 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 $\displaystyle \angle\mathrm{A}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각이등변삼각형이다.
5. 5.[전개] 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin\mathrm{A}=\dfrac{1}{2}\times 4\times 4\times 1$
6. 6.[결론] $\displaystyle =8$

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해설

1. 1.[도입] 정적분을 계산해 $\displaystyle f$ 를 다항식으로 쓴 뒤, 극댓값 조건으로 $\displaystyle k$ 를 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^x(3t^2-6t)\,dt=\left[t^3-3t^2\right]_0^x=x^3-3x^2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+k$
3. 3.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
4. 4.[전개] 극댓값이 $\displaystyle f(0)=k=5$ 이므로 $\displaystyle k=5$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+5$
5. 5.[전개] 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+5=1$
6. 6.[전개] 극댓값 $\displaystyle 5$ 와 극솟값 $\displaystyle 1$ 이 모두 양수이므로 (극댓값)×(극솟값)$\displaystyle >0$ 이다.
7. 7.[결론] 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x$ 축과 한 점에서만 만나고, 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle 1$ 이다.

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