🌏 외대(글로벌) 예상 논술 10회

해설

1. 1.[도입] 밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\times 9)=\log_6 36$
3. 3.[전개] $\displaystyle 36=6^2$ 이다.
4. 4.[결론] 따라서 $\displaystyle \log_6 6^2=2$

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해설

1. 1.[도입] 두 식의 제곱은 중간항의 부호만 다르므로, 한쪽 제곱에서 다른 쪽 제곱을 얻을 수 있다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \left(3^{x}+3^{-x}\right)^2=3^{2x}+2+3^{-2x}$ , $\displaystyle \left(3^{x}-3^{-x}\right)^2=3^{2x}-2+3^{-2x}$
3. 3.[전개] 두 식을 빼면 $\displaystyle \left(3^{x}+3^{-x}\right)^2-\left(3^{x}-3^{-x}\right)^2=4$
4. 4.[전개] 따라서 $\displaystyle \left(3^{x}+3^{-x}\right)^2=2^2+4=8$
5. 5.[결론] $\displaystyle 3^x+3^{-x}>0$ 이므로 $\displaystyle 3^{x}+3^{-x}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f(2)$ 는 $\displaystyle x\ge 2$ 쪽 식으로 계산되고, 연속 조건은 좌극한이 $\displaystyle f(2)$ 와 같다는 것이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(2)=2^2+b=4+b$ 이고 $\displaystyle f(2)=7$ 이므로 $\displaystyle 4+b=7$ , 즉 $\displaystyle b=3$
3. 3.[전개] $\displaystyle x=2$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=f(2)$ 이어야 한다.
4. 4.[전개] $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=2+a$ 이므로 $\displaystyle 2+a=7$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle a=5$ , $\displaystyle b=3$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 접점을 미지수로 놓고, 그 접선이 점 $\displaystyle (1,\,2)$ 를 지난다는 조건을 세운다.
2. 2.[전개] 접점을 $\displaystyle \left(t,\,t^3+1\right)$ 이라 하자. $\displaystyle y'=3x^2$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle 3t^2$ 이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y-\left(t^3+1\right)=3t^2(x-t)$
3. 3.[전개] 이 직선이 점 $\displaystyle (1,\,2)$ 를 지나므로 $\displaystyle 2-\left(t^3+1\right)=3t^2(1-t)$ , 즉 $\displaystyle 1-t^3=3t^2-3t^3$
4. 4.[전개] 정리하면 $\displaystyle 2t^3-3t^2+1=0$ 이다. $\displaystyle t=1$ 을 대입하면 $\displaystyle 2-3+1=0$ 이므로 $\displaystyle t-1$ 을 인수로 가진다.
5. 5.[전개] 나누면 $\displaystyle 2t^3-3t^2+1=(t-1)\left(2t^2-t-1\right)=(t-1)(2t+1)(t-1)=(t-1)^2(2t+1)$
6. 6.[전개] 따라서 $\displaystyle t=1$ (중근) 또는 $\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}$ 이고, 접점이 $\displaystyle (1,\,2)$ 가 아니므로 $\displaystyle t=-\dfrac{1}{2}$
7. 7.[결론] 접점의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3+1=-\dfrac{1}{8}+1=\dfrac{7}{8}$ 이므로 접점은 $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{7}{8}\right)$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 주어진 공식을 그대로 쓰고, 상수배는 시그마 밖으로 뺀다.
2. 2.[전개] $\displaystyle n=20$ 을 대입하면 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{20}{21}$
3. 3.[전개] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{k(k+1)}=2\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{2n}{n+1}$
4. 4.[전개] 부등식은 $\displaystyle \dfrac{2n}{n+1}>1.9$ 이고, $\displaystyle n+1>0$ 이므로 양변에 $\displaystyle n+1$ 을 곱해도 부등호가 유지된다.
5. 5.[전개] $\displaystyle 2n>1.9(n+1)=1.9n+1.9$ 에서 $\displaystyle 0.1n>1.9$ , 즉 $\displaystyle n>19$
6. 6.[결론] 따라서 최소의 자연수는 $\displaystyle n=20$ 이다. 확인하면 $\displaystyle \dfrac{40}{21}=1.904\cdots>1.9$ 이고, $\displaystyle n=19$ 일 때는 $\displaystyle \dfrac{38}{20}=1.9$ 로 등호라 부등식을 만족시키지 않는다.

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해설

1. 1.[도입] 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin$ 의 비는 마주 보는 변의 비와 같다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \angle\mathrm{A}$ 의 맞은편 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ , $\displaystyle \angle\mathrm{B}$ 의 맞은편 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{CA}}=\sin\mathrm{A}:\sin\mathrm{B}=2:3$
3. 3.[전개] $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=4$ 이므로 $\displaystyle 4:\overline{\mathrm{CA}}=2:3$ , 즉 $\displaystyle 2\overline{\mathrm{CA}}=12$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=6$
4. 4.[전개] 각 $\displaystyle \mathrm{C}$ 를 끼고 있는 두 변이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=4$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=6$ 이므로 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{CA}}\times\sin\mathrm{C}$
5. 5.[전개] $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\times 4\times 6\times\sin\dfrac{\pi}{3}=12\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =6\sqrt{3}$

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해설

1. 1.[도입] 두 경우 모두 "이차곡선과 직선"이므로 교점을 구하고 구간에서의 부호를 판정해 정적분한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle S_1$: $\displaystyle x^2-2x=x(x-2)=0$ 에서 교점은 $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=2$ 이고, $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle x(x-2)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
3. 3.[전개] $\displaystyle S_1=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$
4. 4.[전개] $\displaystyle S_2$: $\displaystyle x^2-2x=3$ 에서 $\displaystyle x^2-2x-3=0$ , $\displaystyle (x+1)(x-3)=0$ 이므로 교점은 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=3$ 이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle -1<x<3$ 에서 $\displaystyle 3-(x^2-2x)=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
6. 6.[전개] $\displaystyle S_2=\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3}=(-9+9+9)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=9+\dfrac{5}{3}=\dfrac{32}{3}$
7. 7.[결론] 따라서 $\displaystyle S_2-S_1=\dfrac{32}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{28}{3}$

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