외대(글로벌) 예상 논술 8회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 로그

$\displaystyle \log_5 3=a$ 일 때, $\displaystyle \log_5 75$ 를 $\displaystyle a$ 로 나타내시오. 풀이 과정을 설명하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle a+2$

해설

1.[도입] 진수를 밑 $\displaystyle 5$ 의 거듭제곱과 나머지로 쪼갠다.
2.[전개] $\displaystyle 75=25\times 3=5^2\times 3$
3.[전개] 로그의 성질에 의하여 $\displaystyle \log_5 75=\log_5 5^2+\log_5 3$
4.[전개] $\displaystyle \log_5 5^2=2$ 이고 $\displaystyle \log_5 3=a$ 이다.
5.[결론] 따라서 $\displaystyle \log_5 75=a+2$

채점 포인트

1	[도입] 진수를 $\displaystyle 5^2\times 3$ 으로 쪼갠 경우	3
2	[전개] 로그의 합으로 분리한 경우	3
3	[전개] $\displaystyle \log_5 5^2=2$ 를 계산한 경우	3
4	[결론] $\displaystyle a+2$	1
계		10

실전 조언 · 밑과 같은 수를 최대한 뽑아내는 것이 요령이다. 남는 부분이 주어진 $\displaystyle a$ 와 맞아떨어진다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 31번

2번12점수학Ⅰ · 등비수열

공비가 양수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 $\displaystyle a_1+a_2=6$ , $\displaystyle a_3+a_4=24$ 를 만족시킬 때, 공비 $\displaystyle r$ 의 값을 구하시오. 풀이 과정을 설명하시오. (12점)

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정답 · $\displaystyle r=2$

해설

1.[도입] $\displaystyle a_3$ , $\displaystyle a_4$ 는 각각 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ 에 $\displaystyle r^2$ 을 곱한 것이므로 두 조건을 바로 연결할 수 있다.
2.[전개] $\displaystyle a_3=a_1r^2$ , $\displaystyle a_4=a_2r^2$ 이므로 $\displaystyle a_3+a_4=(a_1+a_2)r^2$
3.[전개] 따라서 $\displaystyle 24=6r^2$ , 즉 $\displaystyle r^2=4$
4.[전개] 공비가 양수이므로 $\displaystyle r=2$ 이다. ( $\displaystyle r=-2$ 는 조건에 맞지 않아 버린다.)
5.[결론] 검산하면 $\displaystyle a_1+a_2=a_1(1+2)=6$ 에서 $\displaystyle a_1=2$ 이고, $\displaystyle a_3+a_4=8+16=24$ 로 맞다.

채점 포인트

1	[도입] $\displaystyle a_3+a_4=(a_1+a_2)r^2$ 임을 밝힌 경우	4
2	[전개] $\displaystyle r^2=4$ 를 구한 경우	4
3	[전개] 공비가 양수라는 조건으로 $\displaystyle r=-2$ 를 버린 경우	3
4	[결론] 검산한 경우	1
계		12

실전 조언 · 첫째항을 구하지 않아도 공비가 나온다. 두 조건을 통째로 묶는 관점이 [도입] 4점이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 29번

3번13점수학Ⅱ · 도함수의 활용

함수 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx$ 가 $\displaystyle x=-2$ 와 $\displaystyle x=4$ 에서 극값을 가질 때, 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. 풀이 과정을 설명하시오. (13점)

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정답 · $\displaystyle -27$

해설

1.[도입] 극값을 갖는 두 점은 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 두 근이므로 근과 계수의 관계를 쓴다.
2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b$ 이고 $\displaystyle -2$ , $\displaystyle 4$ 가 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 두 근이다.
3.[전개] 두 근의 합에서 $\displaystyle -2+4=-\dfrac{2a}{3}$ , 즉 $\displaystyle 2=-\dfrac{2a}{3}$ 이므로 $\displaystyle a=-3$
4.[전개] 두 근의 곱에서 $\displaystyle (-2)\times 4=\dfrac{b}{3}$ , 즉 $\displaystyle -8=\dfrac{b}{3}$ 이므로 $\displaystyle b=-24$
5.[전개] 이때 $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-24=3(x+2)(x-4)$ 이고 두 점 좌우에서 부호가 바뀌므로 실제로 극값을 갖는다.
6.[결론] 따라서 $\displaystyle a+b=-3+(-24)=-27$

채점 포인트

1	[도입] 두 값이 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 두 근임을 밝힌 경우	4
2	[전개] $\displaystyle a=-3$ 을 구한 경우	3
3	[전개] $\displaystyle b=-24$ 를 구한 경우	3
4	[전개] 실제로 극값을 가짐을 확인한 경우	2
5	[결론] $\displaystyle -27$	1
계		13

실전 조언 · $\displaystyle f'$ 를 $\displaystyle 3(x+2)(x-4)$ 로 바로 쓰고 전개해 계수를 비교해도 된다. 어느 쪽이든 근거 문장을 남긴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 33번

4번14점수학Ⅱ · 함수의 연속

함수 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+a}-b}{x-1} & (x\ne 1)\\[4pt] \dfrac{1}{4} & (x=1)\end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle a+b$ 의 값을 구하시오. 풀이 과정을 설명하시오. (14점)

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정답 · $\displaystyle 5$

해설

1.[도입] $\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 극한값이 존재하고 그 값이 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ 이어야 한다.
2.[전개] $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle \sqrt{1+a}=b$ , 양변을 제곱하면 $\displaystyle 1+a=b^2$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3.[전개] 분자를 유리화하면 $\displaystyle \dfrac{(x+a)-b^2}{(x-1)\left(\sqrt{x+a}+b\right)}$ 이고, ㉠에 의해 분자는 $\displaystyle x+a-(1+a)=x-1$ 이다.
4.[전개] 따라서 $\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+a}+b}$ 이고, $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모는 $\displaystyle \sqrt{1+a}+b=b+b=2b$ 이다.
5.[전개] $\displaystyle \dfrac{1}{2b}=\dfrac{1}{4}$ 에서 $\displaystyle b=2$ 이고, ㉠에서 $\displaystyle 1+a=4$ , 즉 $\displaystyle a=3$ 이다. 둘 다 양수이므로 조건에 맞다.
6.[결론] 따라서 $\displaystyle a+b=3+2=5$

채점 포인트

1	[도입] (분자) $\displaystyle \to 0$ 조건을 세운 경우	4
2	[전개] 유리화해 분자를 $\displaystyle x-1$ 로 정리한 경우	4
3	[전개] 극한값이 $\displaystyle \dfrac{1}{2b}$ 임을 구한 경우	3
4	[전개] $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle a=3$ 을 구한 경우	2
5	[결론] $\displaystyle 5$	1
계		14

실전 조언 · $\displaystyle \sqrt{1+a}=b$ 를 먼저 확보해야 분자가 $\displaystyle x-1$ 로 깔끔히 떨어진다. 순서가 정해진 문제다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 25번

5번16점수학Ⅰ · 코사인법칙

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=7$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=8$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=9$ 이다. $\displaystyle \cos\mathrm{A}$ 의 값과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 구하시오. 풀이 과정을 설명하시오. (16점)

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정답 · $\displaystyle \cos\mathrm{A}=\dfrac{2}{3}$ , 넓이 $\displaystyle 12\sqrt{5}$

해설

1.[도입] 세 변을 알고 있으므로 코사인법칙으로 $\displaystyle \cos\mathrm{A}$ 를, 이어서 $\displaystyle \sin\mathrm{A}$ 로 넓이를 구한다.
2.[전개] 각 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 맞은편 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=7$ 이고, 끼고 있는 두 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=9$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=8$ 이다.
3.[전개] $\displaystyle \cos\mathrm{A}=\dfrac{9^2+8^2-7^2}{2\times 9\times 8}=\dfrac{81+64-49}{144}=\dfrac{96}{144}=\dfrac{2}{3}$
4.[전개] 삼각형의 내각이므로 $\displaystyle \sin\mathrm{A}>0$ 이고, $\displaystyle \sin^2\mathrm{A}=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$ 이므로 $\displaystyle \sin\mathrm{A}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
5.[전개] 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\times 9\times 8\times\sin\mathrm{A}=36\times\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
6.[결론] $\displaystyle =12\sqrt{5}$

채점 포인트

1	[도입] 코사인법칙과 넓이 공식을 쓰겠다고 밝힌 경우	4
2	[전개] $\displaystyle \cos\mathrm{A}=\dfrac{2}{3}$ 을 구한 경우	4
3	[전개] $\displaystyle \sin\mathrm{A}>0$ 임을 밝힌 경우	3
4	[전개] $\displaystyle \sin\mathrm{A}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ 을 구한 경우	3
5	[결론] 넓이 $\displaystyle 12\sqrt{5}$	2
계		16

실전 조언 · 각 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 맞은편이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 라는 것만 정확히 잡으면 나머지는 대입이다. 그림에 표시하고 시작한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙 25번

6번17점수학Ⅰ · 로그방정식

방정식 $\displaystyle (\log_3 x)^2=\log_3 x^2+3$ 의 모든 근의 곱을 구하시오. 풀이 과정을 설명하시오. (17점)

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정답 · $\displaystyle 9$

해설

1.[도입] 진수 조건 $\displaystyle x>0$ 을 확인하고, $\displaystyle \log_3 x=t$ 로 치환해 이차방정식으로 바꾼다.
2.[전개] 우변의 $\displaystyle \log_3 x^2=2\log_3 x$ 이므로, $\displaystyle t=\log_3 x$ 로 놓으면 방정식은 $\displaystyle t^2=2t+3$
3.[전개] $\displaystyle t^2-2t-3=0$ , $\displaystyle (t-3)(t+1)=0$ 에서 $\displaystyle t=3$ 또는 $\displaystyle t=-1$
4.[전개] $\displaystyle \log_3 x=3$ 에서 $\displaystyle x=3^3=27$ , $\displaystyle \log_3 x=-1$ 에서 $\displaystyle x=3^{-1}=\dfrac{1}{3}$ 이고 둘 다 양수이므로 적합하다.
5.[결론] 따라서 모든 근의 곱은 $\displaystyle 27\times\dfrac{1}{3}=9$

채점 포인트

1	[도입] 진수 조건을 확인하고 치환한 경우	4
2	[전개] $\displaystyle \log_3 x^2=2\log_3 x$ 로 고친 경우	4
3	[전개] $\displaystyle t=3$ , $\displaystyle t=-1$ 을 구한 경우	4
4	[전개] $\displaystyle x=27$ , $\displaystyle x=\dfrac{1}{3}$ 을 구한 경우	3
5	[결론] $\displaystyle 9$	2
계		17

실전 조언 · 근의 곱은 로그의 합으로도 구해진다. $\displaystyle \log_3(27\times\frac{1}{3})=3+(-1)=2$ 이므로 곱은 $\displaystyle 3^2=9$ — 근과 계수의 관계를 그대로 쓴 검산이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 31번

7번18점수학Ⅱ · 정적분으로 정의된 함수

함수 $\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x}(3t^2-6t)\,dt$ 에 대하여 다음을 구하시오.

(가) $\displaystyle g(x)$ 를 $\displaystyle x$ 에 대한 식으로 나타내시오.

(나) $\displaystyle g(x)$ 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.

그 과정을 설명하시오. (18점)

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정답 · (가) $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2+4$ (나) 극댓값 $\displaystyle 4$ , 극솟값 $\displaystyle 0$

해설

1.[도입] 먼저 정적분을 계산해 $\displaystyle g$ 를 다항식으로 쓴 뒤, 미분해 증감을 조사한다.
2.[전개] $\displaystyle g(x)=\left[t^3-3t^2\right]_{-1}^{x}=(x^3-3x^2)-\left\{(-1)-3\right\}=(x^3-3x^2)-(-4)$
3.[전개] 따라서 $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2+4$
4.[전개] 미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle g'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$
5.[전개] $\displaystyle x<0$ 에서 $\displaystyle g'>0$ , $\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle g'<0$ , $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle g'>0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
6.[전개] 극댓값 $\displaystyle g(0)=4$ , 극솟값 $\displaystyle g(2)=8-12+4=0$
7.[결론] 즉 극댓값은 $\displaystyle 4$ , 극솟값은 $\displaystyle 0$ 이다. $\displaystyle g(-1)=0$ 임도 정적분의 정의에서 바로 확인된다.

채점 포인트

1	[도입] 정적분을 계산한 뒤 미분하겠다는 순서를 밝힌 경우	4
2	[전개] $\displaystyle g(x)=x^3-3x^2+4$ 를 구한 경우	4
3	[전개] $\displaystyle g'(x)=3x(x-2)$ 를 구한 경우	3
4	[전개] 증감을 조사해 극대·극소를 판정한 경우	4
5	[결론] 극댓값 $\displaystyle 4$ , 극솟값 $\displaystyle 0$	3
계		18

실전 조언 · 아래끝이 $\displaystyle -1$ 이므로 $\displaystyle g(-1)=0$ 이다. 이 값을 대입해 확인하면 상수항 $\displaystyle +4$ 가 맞는지 곧바로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 33번

🌏 외대(글로벌) 예상 논술 8회

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