🌏 외대(글로벌) 예상 논술 7회

해설

1. 1.[도입] 음의 지수는 역수를 뜻하고, 분수 지수는 거듭제곱근을 뜻한다. 두 단계를 순서대로 처리한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$
3. 3.[전개] $\displaystyle \dfrac{27}{8}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3$ 이므로 $\displaystyle \left\{\left(\dfrac{3}{2}\right)^3\right\}^{\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$
4. 4.[결론] 따라서 값은 $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 주어진 식을 제곱하면 $\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 을 쓸 수 있고 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta$ 가 드러난다.
2. 2.[전개] $\displaystyle (\sin\theta-\cos\theta)^2=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$
3. 3.[전개] $\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이므로 좌변은 $\displaystyle 1-2\sin\theta\cos\theta$ 이다.
4. 4.[전개] 우변은 $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle 1-2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}$
5. 5.[전개] $\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\dfrac{3}{8}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \infty-\infty$ 꼴이므로 유리화해 $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴로 바꾼다.
2. 2.[전개] 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x^2+ax}+x$ 를 곱하면 $\displaystyle \dfrac{(x^2+ax)-x^2}{\sqrt{x^2+ax}+x}=\dfrac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}$
3. 3.[전개] $\displaystyle x>0$ 으로 두고 분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}$
4. 4.[전개] $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{a}{x}\to 0$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{a}{1+1}=\dfrac{a}{2}$
5. 5.[결론] $\displaystyle \dfrac{a}{2}=3$ 이므로 $\displaystyle a=6$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 삼차함수가 극값을 갖지 않으려면 $\displaystyle f'(x)=0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖지 않아야 한다. 즉 판별식이 $\displaystyle 0$ 이하여야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2+6x+a$ 이고 이는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f'(x)=0$ 의 판별식을 $\displaystyle D$ 라 하면 $\displaystyle \dfrac{D}{4}=3^2-3a=9-3a$
4. 4.[전개] 극값을 갖지 않을 조건은 $\displaystyle \dfrac{D}{4}\le 0$ 이므로 $\displaystyle 9-3a\le 0$ , 즉 $\displaystyle a\ge 3$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle a$ 의 최솟값은 $\displaystyle 3$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle n$ 에 대한 이차식이므로 완전제곱해 꼭짓점을 찾는다. 단 $\displaystyle n$ 은 자연수라는 점을 확인해야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle S_n=-n^2+10n=-(n^2-10n)=-(n-5)^2+25$
3. 3.[전개] 최고차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록하고, $\displaystyle n=5$ 에서 최대이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle n=5$ 는 자연수이므로 그대로 쓸 수 있다. 최댓값은 $\displaystyle S_5=25$ 이다.
5. 5.[전개] 확인하면 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(-n^2+10n)-\{-(n-1)^2+10(n-1)\}=-2n+11$ 이고, $\displaystyle a_5=1>0$ , $\displaystyle a_6=-1<0$ 이다.
6. 6.[결론] 즉 제 $\displaystyle 5$ 항까지가 양수이므로 $\displaystyle n=5$ 에서 합이 최대가 되는 것이 맞다. 최댓값은 $\displaystyle 25$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 로그의 합을 하나로 묶으면 $\displaystyle xy$ 를 얻고, $\displaystyle x+y$ 와 함께 쓰면 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 를 두 근으로 하는 이차방정식을 만들 수 있다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_2 x+\log_2 y=\log_2(xy)=5$ 이므로 $\displaystyle xy=2^5=32$
3. 3.[전개] $\displaystyle x+y=12$ , $\displaystyle xy=32$ 이므로 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 는 이차방정식 $\displaystyle t^2-12t+32=0$ 의 두 근이다.
4. 4.[전개] $\displaystyle (t-4)(t-8)=0$ 에서 $\displaystyle t=4$ 또는 $\displaystyle t=8$ 이고, $\displaystyle x>y$ 이므로 $\displaystyle x=8$ , $\displaystyle y=4$ 이다. 둘 다 양수이므로 조건에 맞다.
5. 5.[전개] $\displaystyle x^2+y^2=64+16=80$
6. 6.[결론] 또는 $\displaystyle x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=144-64=80$ 으로도 같다.

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해설

1. 1.[도입] 적분 구간이 상수인 정적분은 상수다. 이를 $\displaystyle k$ 로 놓고 식을 닫는다.
2. 2.[전개] $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$ 로 놓으면 $\displaystyle f(x)=x^2+k$
3. 3.[전개] 이를 $\displaystyle k$ 의 정의에 대입하면 $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^2(t^2+k)\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}+kt\right]_0^2=\dfrac{8}{3}+2k$
4. 4.[전개] $\displaystyle k-2k=\dfrac{8}{3}$ 에서 $\displaystyle -k=\dfrac{8}{3}$ , 즉 $\displaystyle k=-\dfrac{8}{3}$
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle f(x)=x^2-\dfrac{8}{3}$
6. 6.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(x^2-\dfrac{8}{3}\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{8}{3}x\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}$
7. 7.[결론] $\displaystyle =-\dfrac{7}{3}$

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