🌏 외대(글로벌) 예상 논술 6회

해설

1. 1.[도입] 밑이 다르므로 밑변환공식으로 밑을 $\displaystyle 2$ 로 통일한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_9 16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 9}=\dfrac{4}{2\log_2 3}=\dfrac{2}{\log_2 3}$
3. 3.[전개] 따라서 주어진 식은 $\displaystyle \log_2 3\times\dfrac{2}{\log_2 3}$
4. 4.[결론] $\displaystyle \log_2 3$ 이 약분되어 값은 $\displaystyle 2$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 분모에 근호가 있으므로 각 항을 유리화해 소거되는 꼴로 만든다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$
3. 3.[전개] 따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
4. 4.[전개] 이웃한 항이 소거되어 $\displaystyle \sqrt{n+1}-1$ 만 남는다.
5. 5.[전개] $\displaystyle \sqrt{n+1}-1=4$ 에서 $\displaystyle \sqrt{n+1}=5$ , 양변을 제곱하면 $\displaystyle n+1=25$
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle n=24$

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해설

1. 1.[도입] 곡선과 직선이 접한다는 것은 교점의 방정식이 중근을 갖는다는 뜻이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x^2+a=2x$ 에서 $\displaystyle x^2-2x+a=0$
3. 3.[전개] 이 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 $\displaystyle D=0$ 이어야 한다.
4. 4.[전개] $\displaystyle \dfrac{D}{4}=1-a=0$ 이므로 $\displaystyle a=1$
5. 5.[결론] 이때 $\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2=0$ 에서 접점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle 1$ 이고, 실제로 $\displaystyle y'=2x$ 의 $\displaystyle x=1$ 에서의 값이 $\displaystyle 2$ 로 직선의 기울기와 같다.

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해설

1. 1.[도입] 절댓값이 있으므로 안쪽 함수의 부호가 바뀌는 지점을 먼저 찾는다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 과 $\displaystyle x=2$ 에서 $\displaystyle 0$ 이 된다.
3. 3.[전개] 적분 구간 $\displaystyle -1<x<2$ 에서는 $\displaystyle (x-2)(x+1)<0$ 이므로 구간 내내 음수이다. 따라서 구간을 나눌 필요 없이 부호만 뒤집으면 된다.
4. 4.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}\left|x^2-x-2\right|\,dx=\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx$
5. 5.[전개] $\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)$
6. 6.[결론] $\displaystyle =\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x$ 를 대입해 $\displaystyle \sin x$ 만의 이차방정식으로 바꾼다.
2. 2.[전개] $\displaystyle 2(1-\sin^2 x)+3\sin x-3=0$ 에서 $\displaystyle -2\sin^2 x+3\sin x-1=0$ , 즉 $\displaystyle 2\sin^2 x-3\sin x+1=0$
3. 3.[전개] $\displaystyle \sin x=t$ 로 놓으면 $\displaystyle 0\le x\le\pi$ 에서 $\displaystyle 0\le t\le 1$ 이고, $\displaystyle 2t^2-3t+1=0$
4. 4.[전개] $\displaystyle (2t-1)(t-1)=0$ 에서 $\displaystyle t=\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t=1$ 이고 둘 다 범위 안에 있다.
5. 5.[전개] $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle 0\le x\le\pi$ 에서 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$ 과 $\displaystyle x=\dfrac{5\pi}{6}$ 이다.
6. 6.[전개] $\displaystyle \sin x=1$ 인 $\displaystyle x$ 는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{2}$ 이다.
7. 7.[결론] 따라서 해는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ , $\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}$ 의 세 개이다.

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해설

1. 1.[도입] 역함수는 $\displaystyle y=f(x)$ 를 $\displaystyle x$ 에 대하여 푼 뒤 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 바꾸어 얻는다.
2. 2.[전개] $\displaystyle y=\log_2(x-1)$ 로 놓으면 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x-1=2^y$
3. 3.[전개] 따라서 $\displaystyle x=2^y+1$
4. 4.[전개] $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 서로 바꾸면 $\displaystyle y=2^x+1$ , 즉 $\displaystyle g(x)=2^x+1$
5. 5.[전개] $\displaystyle g(3)=2^3+1=8+1=9$
6. 6.[결론] $\displaystyle g(x)=2^x+1$ 이고 $\displaystyle g(3)=9$ 이다. 검산하면 $\displaystyle f(9)=\log_2 8=3$ 으로 맞다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f'$ 를 적분해 $\displaystyle f$ 를 상수 $\displaystyle C$ 를 포함한 식으로 쓴 뒤, 극댓값 조건으로 $\displaystyle C$ 를 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-6x)\,dx=x^3-3x^2+C$
4. 4.[전개] 극댓값이 $\displaystyle f(0)=C=4$ 이므로 $\displaystyle C=4$ , 즉 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$
5. 5.[전개] 극솟값은 $\displaystyle f(2)=8-12+4=0$
6. 6.[전개] $\displaystyle f(2)=0$ 이므로 $\displaystyle x-2$ 가 인수이고, 나누면 $\displaystyle f(x)=(x+1)(x-2)^2$ 이다. 따라서 $\displaystyle x$ 축과의 교점은 $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=2$ (중근)이다.
7. 7.[전개] $\displaystyle -1<x<2$ 에서 $\displaystyle x+1>0$ , $\displaystyle (x-2)^2>0$ 이므로 $\displaystyle f(x)>0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
8. 8.[결론] 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}(x^3-3x^2+4)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3+4x\right]_{-1}^{2}=(4-8+8)-\left(\dfrac{1}{4}+1-4\right)=4+\dfrac{11}{4}=\dfrac{27}{4}$

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