🌏 외대(글로벌) 예상 논술 5회

해설

1. 1.[도입] 시그마의 성질로 나누어 $\displaystyle \sum k$ 와 $\displaystyle \sum 1$ 의 공식을 쓴다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}(2k-1)=2\sum\limits_{k=1}^{20}k-\sum\limits_{k=1}^{20}1$
3. 3.[전개] $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}k=\dfrac{20\times 21}{2}=210$ , $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{20}1=20$
4. 4.[결론] 따라서 $\displaystyle 2\times 210-20=420-20=400$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle 4^x=(2^x)^2$ 이므로 주어진 식을 제곱하면 구하는 식이 나온다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \left(2^x+2^{-x}\right)^2=\left(2^x\right)^2+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}+\left(2^{-x}\right)^2$
3. 3.[전개] $\displaystyle 2^x\cdot 2^{-x}=2^0=1$ 이므로 우변은 $\displaystyle 4^x+2+4^{-x}$
4. 4.[전개] 좌변은 $\displaystyle 3^2=9$ 이므로 $\displaystyle 4^x+4^{-x}+2=9$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle 4^x+4^{-x}=7$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle x=4$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 4}f(x)$ 가 존재하고 그 값이 $\displaystyle b$ 여야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x\to 4$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. 즉 $\displaystyle \sqrt{4+a}=3$ 이므로 $\displaystyle 4+a=9$ , $\displaystyle a=5$
3. 3.[전개] $\displaystyle a=5$ 일 때 분자를 유리화하면 $\displaystyle \dfrac{(x+5)-9}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}=\dfrac{x-4}{(x-4)\left(\sqrt{x+5}+3\right)}$
4. 4.[전개] $\displaystyle x\ne 4$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+5}+3}$
5. 5.[결론] $\displaystyle \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}$ 이므로 $\displaystyle b=\dfrac{1}{6}$

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해설

1. 1.[도입] 접선을 먼저 구하고, 접선과 곡선의 교점을 찾아 구간을 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle y'=3x^2$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 기울기는 $\displaystyle 3$ 이고, 접선은 $\displaystyle y-1=3(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=3x-2$
3. 3.[전개] 교점을 구하면 $\displaystyle x^3=3x-2$ , $\displaystyle x^3-3x+2=0$ , $\displaystyle (x-1)^2(x+2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ (중근)과 $\displaystyle x=-2$
4. 4.[전개] $\displaystyle -2<x<1$ 에서 $\displaystyle x^3-(3x-2)=(x-1)^2(x+2)>0$ 이므로 곡선이 접선보다 위에 있다.
5. 5.[전개] 따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+2\right)-\left(4-6-4\right)=\dfrac{3}{4}-(-6)=\dfrac{3}{4}+6=\dfrac{27}{4}$

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해설

1. 1.[도입] 넓이 공식 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cdot\sin A$ 로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 를 먼저 구한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=b$ 라 하면 $\displaystyle 9\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\times 6\times b\times\sin\dfrac{\pi}{3}=3b\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}b$
3. 3.[전개] $\displaystyle b=9\sqrt{3}\times\dfrac{2}{3\sqrt{3}}=6$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=6$
4. 4.[전개] 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=6^2+6^2-2\times 6\times 6\times\cos\dfrac{\pi}{3}=36+36-72\times\dfrac{1}{2}=36$
5. 5.[결론] 길이는 양수이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=6$ 이다. 세 변이 모두 $\displaystyle 6$ 이므로 이 삼각형은 정삼각형이다.

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1. 1.[도입] 로그의 진수 조건 $\displaystyle x>0$ 을 먼저 확인하고, $\displaystyle \log_2 x=t$ 로 치환해 이차부등식으로 바꾼다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_2 x=t$ 로 놓으면 부등식은 $\displaystyle t^2-3t+2\le 0$
3. 3.[전개] $\displaystyle (t-1)(t-2)\le 0$ 이므로 $\displaystyle 1\le t\le 2$
4. 4.[전개] 즉 $\displaystyle 1\le\log_2 x\le 2$ 이고, 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 진수의 대소가 그대로 유지된다.
5. 5.[전개] $\displaystyle \log_2 2\le\log_2 x\le\log_2 4$ 에서 $\displaystyle 2\le x\le 4$ 이고, 이는 진수 조건 $\displaystyle x>0$ 을 만족시킨다.
6. 6.[결론] 이 범위의 정수는 $\displaystyle 2,\,3,\,4$ 의 $\displaystyle 3$ 개이다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle f'$ 의 두 근을 알고 최고차항의 계수도 알므로 $\displaystyle f'$ 를 바로 쓸 수 있다. 이를 적분하고 $\displaystyle f(0)=0$ 으로 상수를 정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f$ 의 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 이므로 $\displaystyle f'$ 의 최고차항의 계수는 $\displaystyle 3$ 이고, $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9$
3. 3.[전개] $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int(3x^2-12x+9)\,dx=x^3-6x^2+9x+C$ 이고 $\displaystyle f(0)=C=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x$
4. 4.[전개] $\displaystyle f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$ 이므로 $\displaystyle f(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=3$ (중근)이다.
5. 5.[전개] $\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle x>0$ 이고 $\displaystyle (x-3)^2>0$ 이므로 $\displaystyle f(x)>0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
6. 6.[전개] 따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3(x^3-6x^2+9x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^3+\dfrac{9}{2}x^2\right]_0^3$
7. 7.[결론] $\displaystyle =\dfrac{81}{4}-54+\dfrac{81}{2}=\dfrac{81+162-216}{4}=\dfrac{27}{4}$

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