🌏 외대(글로벌) 예상 논술 4회

해설

1. 1.[도입] 거듭제곱근을 모두 분수 지수로 고치면 지수법칙만으로 계산된다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$ , $\displaystyle \sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}$ , $\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
3. 3.[전개] 곱셈은 지수의 합, 나눗셈은 지수의 차이므로 지수는 $\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}$
4. 4.[전개] 통분하면 $\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{6}=0$
5. 5.[결론] 따라서 값은 $\displaystyle 2^0=1$

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] 등차수열의 합 공식은 $\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle n=10$ 이므로 $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10\{2\times 1+9d\}}{2}=5(2+9d)$
3. 3.[전개] $\displaystyle 5(2+9d)=100$ 에서 $\displaystyle 2+9d=20$
4. 4.[전개] $\displaystyle 9d=18$ 이므로 $\displaystyle d=2$
5. 5.[결론] 검산하면 $\displaystyle a_{10}=1+9\times 2=19$ 이고 $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10(1+19)}{2}=100$ 으로 맞다.

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이고 분자에 무리식이 두 개 있으므로 분자를 유리화한다.
2. 2.[전개] 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ 를 곱하면 분자는 $\displaystyle (1+x)-(1-x)=2x$
3. 3.[전개] 따라서 주어진 식은 $\displaystyle \dfrac{2x}{x\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}$
4. 4.[전개] $\displaystyle x\ne 0$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$
5. 5.[결론] $\displaystyle x\to 0$ 일 때 분모는 $\displaystyle 1+1=2$ 이므로 극한값은 $\displaystyle \dfrac{2}{2}=1$

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] 사차함수의 극값은 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 근 중 부호가 바뀌는 곳에서만 나온다. 중근에서는 부호가 바뀌지 않는다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f'(x)=4x^3-12x^2+16=4(x^3-3x^2+4)$
3. 3.[전개] $\displaystyle x=-1$ 을 대입하면 $\displaystyle -1-3+4=0$ 이므로 $\displaystyle x+1$ 을 인수로 가진다. 나누면 $\displaystyle x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2$
4. 4.[전개] 따라서 $\displaystyle f'(x)=4(x+1)(x-2)^2$ 이고, $\displaystyle (x-2)^2\ge 0$ 이므로 $\displaystyle f'$ 의 부호는 $\displaystyle x+1$ 의 부호만으로 정해진다.
5. 5.[전개] $\displaystyle x<-1$ 에서 $\displaystyle f'<0$ , $\displaystyle x>-1$ 에서 $\displaystyle f'\ge 0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서만 극소이고 $\displaystyle x=2$ 에서는 극값을 갖지 않는다.
6. 6.[결론] 극솟값은 $\displaystyle f(-1)=1+4-16=-11$

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \log_2 a=s$ , $\displaystyle \log_2 b=t$ 로 놓고 근과 계수의 관계를 쓴다. 구하는 식도 $\displaystyle s$ , $\displaystyle t$ 로 바꾼다.
2. 2.[전개] 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle s+t=6$ , $\displaystyle st=4$
3. 3.[전개] 밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_a b=\dfrac{\log_2 b}{\log_2 a}=\dfrac{t}{s}$ , $\displaystyle \log_b a=\dfrac{s}{t}$
4. 4.[전개] 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \dfrac{t}{s}+\dfrac{s}{t}=\dfrac{s^2+t^2}{st}$
5. 5.[전개] $\displaystyle s^2+t^2=(s+t)^2-2st=36-8=28$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{s^2+t^2}{st}=\dfrac{28}{4}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =7$

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin$ 의 비는 마주 보는 변의 비와 같다.
2. 2.[전개] 외접원의 반지름을 $\displaystyle R$ 이라 하면 $\displaystyle \sin A=\dfrac{a}{2R}$ , $\displaystyle \sin B=\dfrac{b}{2R}$ , $\displaystyle \sin C=\dfrac{c}{2R}$ 이므로 $\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C=a:b:c=3:5:7$
3. 3.[전개] 따라서 양수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle a=3k$ , $\displaystyle b=5k$ , $\displaystyle c=7k$ 로 놓을 수 있다.
4. 4.[전개] 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{9k^2+25k^2-49k^2}{2\times 3k\times 5k}=\dfrac{-15k^2}{30k^2}=-\dfrac{1}{2}$
5. 5.[전개] 삼각형의 내각이므로 $\displaystyle 0<C<\pi$ 이고, 이 범위에서 $\displaystyle \cos C=-\dfrac{1}{2}$ 인 각은 하나뿐이다.
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{C}=\dfrac{2\pi}{3}$ 이다. $\displaystyle \cos C<0$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 둔각이고, 이는 가장 긴 변 $\displaystyle c$ 의 맞은편 각이라는 사실과도 맞다.

채점 포인트

해설

1. 1.[도입] 먼저 곡선과 $\displaystyle x$ 축의 교점을 찾고, 두 구간에서 곡선의 부호를 각각 판정한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0$ 에서 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=3$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle 1<x<3$ 에서 $\displaystyle (x-1)(x-3)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다. 따라서 $\displaystyle S_1=\displaystyle\int_1^3\{-(x^2-4x+3)\}\,dx$
4. 4.[전개] $\displaystyle S_1=\left[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_1^3=(-9+18-9)-\left(-\dfrac{1}{3}+2-3\right)=0-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$
5. 5.[전개] $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle (x-1)(x-3)>0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다. 따라서 $\displaystyle S_2=\displaystyle\int_0^1(x^2-4x+3)\,dx$
6. 6.[전개] $\displaystyle S_2=\left[\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-2+3=\dfrac{4}{3}$
7. 7.[결론] 따라서 $\displaystyle S_1+S_2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$

채점 포인트