🌏 외대(글로벌) 예상 논술 3회

해설

1. 1.[도입] 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r\,(r\ne 1)$ 인 등비수열의 합은 $\displaystyle S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle r=2$ 이므로 $\displaystyle S_n=\dfrac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)$
3. 3.[전개] $\displaystyle 3(2^n-1)=189$ 에서 $\displaystyle 2^n-1=63$ , 즉 $\displaystyle 2^n=64$
4. 4.[전개] $\displaystyle 64=2^6$ 이고 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle n=6$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle n=6$ 이다. 검산하면 $\displaystyle 3+6+12+24+48+96=189$ 로 맞다.

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \log_2 x=s$ , $\displaystyle \log_2 y=t$ 로 치환하면 $\displaystyle s$ , $\displaystyle t$ 에 대한 연립일차방정식이 된다.
2. 2.[전개] $\displaystyle s+t=4$ , $\displaystyle s-t=2$ 이므로 두 식을 더하면 $\displaystyle 2s=6$ , 즉 $\displaystyle s=3$ 이고 $\displaystyle t=4-3=1$
3. 3.[전개] $\displaystyle \log_2 x=3$ 에서 $\displaystyle x=2^3=8$ , $\displaystyle \log_2 y=1$ 에서 $\displaystyle y=2^1=2$
4. 4.[전개] 두 값은 모두 양수이므로 조건에 맞다.
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle x+y=8+2=10$

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해설

1. 1.[도입] 곡선 위의 점 $\displaystyle (t,\,f(t))$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f'(t)$ 이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=x^3-3x+1$ 이라 하면 $\displaystyle f'(x)=3x^2-3$
3. 3.[전개] $\displaystyle f'(t)=9$ 에서 $\displaystyle 3t^2-3=9$ , $\displaystyle 3t^2=12$ , $\displaystyle t^2=4$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 또는 $\displaystyle t=-2$
4. 4.[전개] $\displaystyle t=2$ 일 때 $\displaystyle f(2)=8-6+1=3$ 이므로 점 $\displaystyle (2,\,3)$
5. 5.[전개] $\displaystyle t=-2$ 일 때 $\displaystyle f(-2)=-8+6+1=-1$ 이므로 점 $\displaystyle (-2,\,-1)$
6. 6.[결론] 따라서 구하는 점은 $\displaystyle (2,\,3)$ 과 $\displaystyle (-2,\,-1)$ 이다.

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해설

1. 1.[도입] 미분가능은 두 조건이다. ① $\displaystyle x=1$ 에서 연속 ② $\displaystyle x=1$ 에서 좌미분계수와 우미분계수가 같음.
2. 2.[전개] 연속 조건: $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=1+2=3$ , $\displaystyle f(1)=a+b$ 이므로 $\displaystyle a+b=3$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.[전개] $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x$ , $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=a$ 이므로 미분계수 조건은 $\displaystyle 2\times 1=a$ , 즉 $\displaystyle a=2$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
4. 4.[전개] ㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 2+b=3$ 이므로 $\displaystyle b=1$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle ab=2\times 1=2$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x$ 를 이용해 $\displaystyle \cos x$ 만의 식으로 바꾼 뒤 치환한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=(1-\cos^2 x)+2\cos x=-\cos^2 x+2\cos x+1$
3. 3.[전개] $\displaystyle \cos x=t$ 로 놓으면 $\displaystyle 0\le x\le 2\pi$ 에서 $\displaystyle -1\le t\le 1$ 이고, $\displaystyle g(t)=-t^2+2t+1$
4. 4.[전개] $\displaystyle g(t)=-(t-1)^2+2$ 이므로 꼭짓점은 $\displaystyle t=1$ 이고 위로 볼록하다. 꼭짓점이 구간 $\displaystyle [-1,\,1]$ 의 오른쪽 끝이다.
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle t=1$ 에서 최대이고 $\displaystyle g(1)=2$ , $\displaystyle t=-1$ 에서 최소이고 $\displaystyle g(-1)=-1-2+1=-2$
6. 6.[결론] 최댓값은 $\displaystyle 2$ , 최솟값은 $\displaystyle -2$ 이다. ($\displaystyle t=1$ 은 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2\pi$ , $\displaystyle t=-1$ 은 $\displaystyle x=\pi$ 에서 실제로 나온다.)

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해설

1. 1.[도입] 전개해서 $\displaystyle \sum k^2$ , $\displaystyle \sum k$ , $\displaystyle \sum 1$ 의 세 공식으로 나눈다.
2. 2.[전개] $\displaystyle (2k-1)^2=4k^2-4k+1$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)^2=4\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-4\sum\limits_{k=1}^{n}k+\sum\limits_{k=1}^{n}1$
3. 3.[전개] $\displaystyle =4\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\times\dfrac{n(n+1)}{2}+n=\dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n$
4. 4.[전개] 공통인수 $\displaystyle n$ 으로 묶으면 $\displaystyle n\left\{\dfrac{2(n+1)(2n+1)}{3}-2(n+1)+1\right\}=n\times\dfrac{2(2n^2+3n+1)-6(n+1)+3}{3}$
5. 5.[전개] 분자를 정리하면 $\displaystyle 4n^2+6n+2-6n-6+3=4n^2-1$
6. 6.[결론] 따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}=\dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ 이다. $\displaystyle n=2$ 일 때 $\displaystyle 1+9=10$ 이고 $\displaystyle \dfrac{2\times 3\times 5}{3}=10$ 으로 맞다.

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해설

1. 1.[도입] 적분 구간이 상수인 정적분 $\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 는 상수다. 이를 $\displaystyle k$ 로 놓는 것이 시작이다.
2. 2.[전개] $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ 로 놓으면 $\displaystyle f(x)=3x^2+kx$
3. 3.[전개] 이 식을 $\displaystyle k$ 의 정의에 대입하면 $\displaystyle k=\displaystyle\int_0^1(3t^2+kt)\,dt=\left[t^3+\dfrac{k}{2}t^2\right]_0^1=1+\dfrac{k}{2}$
4. 4.[전개] $\displaystyle k-\dfrac{k}{2}=1$ 에서 $\displaystyle \dfrac{k}{2}=1$ , 즉 $\displaystyle k=2$
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle f(x)=3x^2+2x$
6. 6.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx=\left[x^3+x^2\right]_0^2=8+4=12$
7. 7.[결론] $\displaystyle f(x)=3x^2+2x$ , $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=12$

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