🌏 외대(글로벌) 예상 논술 2회

해설

1. 1.[도입] 괄호 안의 로그부터 계산한 뒤 바깥 로그를 계산한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \log_2 8=\log_2 2^3=3$ 이므로 첫째 항은 $\displaystyle \log_3 3=1$
3. 3.[전개] $\displaystyle \log_3 81=\log_3 3^4=4$ 이므로 둘째 항은 $\displaystyle \log_2 4=\log_2 2^2=2$
4. 4.[결론] 따라서 $\displaystyle 1+2=3$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle y=a\sin(bx)+c$ 에서 $\displaystyle a>0$ 일 때 최댓값은 $\displaystyle a+c$ , 최솟값은 $\displaystyle -a+c$ , 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}$ 이다.
2. 2.[전개] 최댓값과 최솟값에서 $\displaystyle a+c=7$ , $\displaystyle -a+c=-1$
3. 3.[전개] 두 식을 더하면 $\displaystyle 2c=6$ , 즉 $\displaystyle c=3$ 이고, 빼면 $\displaystyle 2a=8$ , 즉 $\displaystyle a=4$
4. 4.[전개] 주기에서 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}=\pi$ 이므로 $\displaystyle b=2$
5. 5.[결론] 따라서 $\displaystyle a+b+c=4+2+3=9$

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해설

1. 1.[도입] 교점을 구하고 구간에서 어느 쪽이 위인지 판정한 뒤 정적분한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle x^3-3x^2+2x=2x$ 에서 $\displaystyle x^3-3x^2=0$ , $\displaystyle x^2(x-3)=0$ 이므로 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle x=0$ (중근)과 $\displaystyle x=3$ 이다.
3. 3.[전개] $\displaystyle 0<x<3$ 에서 $\displaystyle 2x-(x^3-3x^2+2x)=-x^3+3x^2=x^2(3-x)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
4. 4.[전개] 둘러싸인 부분은 $\displaystyle 0\le x\le 3$ 한 덩어리이므로 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3(3x^2-x^3)\,dx$
5. 5.[전개] $\displaystyle =\left[x^3-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^3=27-\dfrac{81}{4}=\dfrac{108-81}{4}$
6. 6.[결론] $\displaystyle =\dfrac{27}{4}$

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해설

1. 1.[도입] 분모가 $\displaystyle 0$ 으로 가는데 극한값이 존재하므로, 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}(x^2+ax+b)=4+2a+b=0$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
3. 3.[전개] 따라서 $\displaystyle x^2+ax+b$ 는 $\displaystyle x-2$ 를 인수로 가지므로 $\displaystyle x^2+ax+b=(x-2)(x-c)$ 로 놓을 수 있다. 전개해 계수를 비교하면 $\displaystyle a=-(c+2)$ , $\displaystyle b=2c$
4. 4.[전개] $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x-c)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x-c)=2-c=7$ 이므로 $\displaystyle c=-5$
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle a=-(-5+2)=3$ , $\displaystyle b=2\times(-5)=-10$
6. 6.[결론] 검산하면 $\displaystyle 4+2\times 3+(-10)=0$ 으로 ㉠을 만족시킨다. 즉 $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=-10$

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해설

1. 1.[도입] 부분합이 주어졌으므로 먼저 일반항을 구하고, 그 다음 부분분수로 분해한다.
2. 2.[전개] $\displaystyle S_n=n^2+2n$ 이라 하면 $\displaystyle a_1=S_1=3$ 이고, $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-\{(n-1)^2+2(n-1)\}=2n+1$
3. 3.[전개] $\displaystyle n=1$ 일 때도 $\displaystyle 2\times 1+1=3$ 으로 일치하므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=2n+1$
4. 4.[전개] $\displaystyle \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}=\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right)$
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k a_{k+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{23}\right)$
6. 6.[결론] $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\times\dfrac{23-3}{69}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{20}{69}=\dfrac{10}{69}$

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해설

1. 1.[도입] $\displaystyle 4^x=(2^x)^2$ , $\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x$ 이므로 $\displaystyle 2^x=t$ 로 치환하면 $\displaystyle t$ 에 대한 이차부등식이 된다.
2. 2.[전개] $\displaystyle 2^x=t$ 로 놓으면 $\displaystyle t>0$ 이고, 주어진 부등식은 $\displaystyle t^2-10t+16\le 0$
3. 3.[전개] $\displaystyle t^2-10t+16=(t-2)(t-8)$ 이므로 $\displaystyle (t-2)(t-8)\le 0$ , 즉 $\displaystyle 2\le t\le 8$ 이다. 이 범위는 $\displaystyle t>0$ 을 만족시킨다.
4. 4.[전개] $\displaystyle 2\le 2^x\le 8$ 에서 $\displaystyle 2^1\le 2^x\le 2^3$ 이고, 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 지수의 대소가 그대로 유지된다.
5. 5.[전개] 따라서 $\displaystyle 1\le x\le 3$
6. 6.[결론] 이 범위의 정수는 $\displaystyle 1,\,2,\,3$ 의 $\displaystyle 3$ 개이다.

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해설

1. 1.[도입] 세 근이 주어졌고 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 이므로 $\displaystyle f(x)$ 를 인수분해된 꼴로 바로 쓸 수 있다.
2. 2.[전개] $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$
3. 3.[전개] $\displaystyle 0<x<1$ 에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x-1<0$ , $\displaystyle x-2<0$ 이므로 $\displaystyle f(x)>0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
4. 4.[전개] $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x-1>0$ , $\displaystyle x-2<0$ 이므로 $\displaystyle f(x)<0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
5. 5.[전개] $\displaystyle S_1=\displaystyle\int_0^1(x^3-3x^2+2x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1=\dfrac{1}{4}-1+1=\dfrac{1}{4}$
6. 6.[전개] $\displaystyle \displaystyle\int_1^2(x^3-3x^2+2x)\,dx=\left(4-8+4\right)-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle S_2=\left|-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}$
7. 7.[결론] 따라서 $\displaystyle S_1+S_2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$

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