🌱 가천대 예상 논술 5회

해설

1. 1.제 $\displaystyle 3$ 사분면의 각은 $\displaystyle \sin\theta<0$ 이고 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이다. ( $\displaystyle \tan\theta>0$ 인 것과도 어긋나지 않는다.)
2. 2.$\displaystyle 1+\tan^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=1+4=5$ , 즉 $\displaystyle \cos^{2}\theta=\dfrac{1}{5}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \cos\theta<0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ 이다.
4. 4.$\displaystyle \sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta=2\times\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
5. 5.따라서 $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
6. 6.$\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
7. 7.$\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
8. 8.$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\left(-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)=\dfrac{2\times 5}{25}=\dfrac{2}{5}$

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해설

1. 1.$\displaystyle a_n=25+(n-1)\times(-3)=28-3n$
2. 2.$\displaystyle a_n<0$ 은 $\displaystyle 28-3n<0$ , 즉 $\displaystyle n>\dfrac{28}{3}\approx 9.33$ 이므로 처음으로 음수가 되는 항은 제 $\displaystyle 10$ 항이다. ( $\displaystyle a_9=1>0$ , $\displaystyle a_{10}=-2<0$ )
3. 3.양수인 항까지 더할 때 합이 가장 커지므로 $\displaystyle S_n$ 은 $\displaystyle n=9$ 에서 최대이다.
4. 4.$\displaystyle S_9=\dfrac{9(a_1+a_9)}{2}=\dfrac{9(25+1)}{2}=9\times 13=117$
5. 5.$\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2\times 25+(n-1)\times(-3)\}}{2}=\dfrac{n(53-3n)}{2}$
6. 6.$\displaystyle S_n>0$ 은 $\displaystyle n(53-3n)>0$ 이고 $\displaystyle n>0$ 이므로 $\displaystyle 53-3n>0$ , 즉 $\displaystyle n<\dfrac{53}{3}\approx 17.67$ 이다. 따라서 최대의 자연수는 $\displaystyle n=17$ 이다. ( $\displaystyle S_{17}=17>0$ , $\displaystyle S_{18}=-9<0$ )
7. 7.$\displaystyle \left|a_9\right|=1$ , $\displaystyle \left|a_{10}\right|=2$ 이고 $\displaystyle n$ 이 이보다 멀어질수록 $\displaystyle \left|a_n\right|$ 은 커지므로 최소가 되는 것은 $\displaystyle n=9$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \log 6=\log(2\times 3)=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781$
2. 2.$\displaystyle \log 6^{20}=20\log 6=20\times 0.7781=15.562$
3. 3.$\displaystyle 15<\log 6^{20}<16$ 이므로 $\displaystyle 10^{15}<6^{20}<10^{16}$ 이고, 따라서 $\displaystyle 6^{20}$ 은 $\displaystyle 16$ 자리 자연수이다.
4. 4.최고 자리 숫자는 소수 부분으로 정해진다. $\displaystyle \log 6^{20}$ 의 소수 부분은 $\displaystyle 0.562$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \log 3=0.4771<0.562<0.6020=2\log 2=\log 4$ 이므로 $\displaystyle 3<10^{0.562}<4$ 이다.
6. 6.즉 $\displaystyle 6^{20}=10^{15}\times 10^{0.562}$ 이고 $\displaystyle 3\times 10^{15}<6^{20}<4\times 10^{15}$ 이므로 최고 자리 숫자는 $\displaystyle 3$ 이다.
7. 7.$\displaystyle \log\left(\dfrac{1}{6}\right)^{20}=-15.562=-16+0.438$ 이므로 정수 부분이 $\displaystyle -16$ 이다. 따라서 소수 $\displaystyle 16$ 째 자리에서 처음으로 $\displaystyle 0$ 이 아닌 숫자가 나타난다.

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해설

1. 1.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=c$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=b$ 라 하면 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}bc\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}bc$ 이다.
2. 2.$\displaystyle b+c=10$ 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle bc\le\left(\dfrac{b+c}{2}\right)^{2}=25$ 이고, 등호는 $\displaystyle b=c=5$ 일 때 성립한다.
3. 3.따라서 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 25=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}$ 이다.
4. 4.$\displaystyle b=c=5$ 일 때 코사인법칙에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=25+25-2\times 25\times\dfrac{1}{2}=25$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=5$ 이고, 세 변이 모두 $\displaystyle 5$ 인 정삼각형이 된다.
6. 6.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=7$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=3$ 이므로 넓이는 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 21=\dfrac{21\sqrt{3}}{4}$ 이고, 최댓값보다 작다.

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해설

1. 1.조건에 $\displaystyle x=0$ 을 넣으면 $\displaystyle |f(0)|\le 0$ 이므로 $\displaystyle f(0)=0$ 이다.
2. 2.$\displaystyle x\ne 0$ 일 때 조건의 양변을 $\displaystyle |x|$ 로 나누면 $\displaystyle \left|\dfrac{f(x)}{x}-3\right|\le|x|$ 이다.
3. 3.즉 $\displaystyle -|x|\le\dfrac{f(x)}{x}-3\le|x|$ 이고, $\displaystyle x\to 0$ 일 때 양 끝이 모두 $\displaystyle 0$ 으로 간다.
4. 4.함수의 극한의 대소 관계에 의하여 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{f(x)}{x}-3\right)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=3$ 이다.
5. 5.마지막 극한은 조건에서 $\displaystyle \left|\dfrac{f(x)-3x}{x^{2}}\right|\le 1$ 임만 알 수 있다. 즉 값이 $\displaystyle -1$ 과 $\displaystyle 1$ 사이에 갇힐 뿐 하나로 정해지지 않는다.
6. 6.실제로 $\displaystyle f(x)=3x+x^{2}$ 이면 극한값이 $\displaystyle 1$ 이고, $\displaystyle f(x)=3x-x^{2}$ 이면 $\displaystyle -1$ 이므로 조건만으로는 정해지지 않는다.
7. 7.조건에서 $\displaystyle 3x-x^{2}\le f(x)\le 3x+x^{2}$ 이고 $\displaystyle x\to 0$ 일 때 양 끝이 모두 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle g(x)=x^{2}+ax+b$ 라 하면 $\displaystyle f(x)=g(x)|x-2|$ 이고 $\displaystyle |x-2|$ 는 $\displaystyle x=2$ 에서 미분가능하지 않다.
2. 2.$\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f(x)=g(x)(x-2)$ 이므로 우미분계수는 $\displaystyle g'(2)\times 0+g(2)\times 1=g(2)$ 이고, $\displaystyle x<2$ 에서는 부호가 반대이므로 좌미분계수는 $\displaystyle -g(2)$ 이다.
3. 3.두 값이 같아야 하므로 $\displaystyle g(2)=-g(2)$ , 즉 $\displaystyle g(2)=4+2a+b=0$ 이다.
4. 4.조건 (나)에서 $\displaystyle f(0)=g(0)\times|{-2}|=2b=12$ 이므로 $\displaystyle b=6$ 이고, $\displaystyle 4+2a+6=0$ 에서 $\displaystyle a=-5$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle g(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ 이고, $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}(x-3)=x^{3}-7x^{2}+16x-12$ 이다.
6. 6.$\displaystyle f'(x)=3x^{2}-14x+16$ 이므로 $\displaystyle f'(3)=27-42+16=1$ 이다.
7. 7.$\displaystyle f'(x)=3x^{2}-14x+16=(3x-8)(x-2)$ 이므로 $\displaystyle x>2$ 에서 $\displaystyle f'(x)=0$ 인 곳은 $\displaystyle x=\dfrac{8}{3}$ 하나이고, 그 앞뒤에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle x=\dfrac{8}{3}$ 에서 극소이다.
8. 8.$\displaystyle x<2$ 에서는 $\displaystyle |x-2|=2-x$ 이므로 $\displaystyle f(x)=(x-2)(x-3)(2-x)=-(x-2)^{2}(x-3)$ 이다.

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해설

1. 1.접점을 $\displaystyle \left(t,\,t^{3}-3t^{2}\right)$ 이라 하면 $\displaystyle y'=3x^{2}-6x$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle 3t^{2}-6t$ 이다.
2. 2.접선이 점 $\displaystyle (0,\,k)$ 를 지나므로 $\displaystyle \dfrac{t^{3}-3t^{2}-k}{t-0}=3t^{2}-6t$ 이다. ( $\displaystyle t\ne 0$ 인 경우이며 $\displaystyle t=0$ 도 아래 식을 만족시킨다.)
3. 3.정리하면 $\displaystyle t^{3}-3t^{2}-k=3t^{3}-6t^{2}$ , 즉 $\displaystyle k=-2t^{3}+3t^{2}$ 이다.
4. 4.$\displaystyle h(t)=-2t^{3}+3t^{2}$ 이라 하면 $\displaystyle h'(t)=-6t^{2}+6t=-6t(t-1)$ 이므로 $\displaystyle t=0$ 에서 극소, $\displaystyle t=1$ 에서 극대이다.
5. 5.$\displaystyle h(0)=0$ , $\displaystyle h(1)=-2+3=1$ 이므로 극솟값은 $\displaystyle 0$ , 극댓값은 $\displaystyle 1$ 이다.
6. 6.접선의 개수는 $\displaystyle k=h(t)$ 를 만족시키는 $\displaystyle t$ 의 개수와 같다. 즉 곡선 $\displaystyle y=h(t)$ 와 직선 $\displaystyle y=k$ 의 교점의 개수이다.
7. 7.교점이 $\displaystyle 3$ 개가 되려면 $\displaystyle k$ 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 하므로 $\displaystyle 0<k<1$ 이다.
8. 8.직선 $\displaystyle y=k$ 가 극값 사이를 벗어나면 교점이 하나뿐이므로, 접선이 $\displaystyle 1$ 개가 되는 범위는 $\displaystyle k<0$ 또는 $\displaystyle k>1$ 이다. ( $\displaystyle k=0$ 또는 $\displaystyle k=1$ 이면 $\displaystyle 2$ 개다.)

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해설

1. 1.$\displaystyle x-1$ 의 부호가 바뀌는 $\displaystyle x=1$ 에서 구간을 나눈다. $\displaystyle 0\le x<1$ 에서 $\displaystyle f(x)=1-x$ , $\displaystyle 1\le x\le 3$ 에서 $\displaystyle f(x)=x-1$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1(1-x)dx=\left[x-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_1^3(x-1)dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-x\right]_1^3=\left(\dfrac{9}{2}-3\right)-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2$
4. 4.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f(x)dx=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1 x(1-x)dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
6. 6.$\displaystyle \displaystyle\int_1^3 x(x-1)dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_1^3=(9-\dfrac{9}{2})-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{14}{3}$
7. 7.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3 x\,f(x)dx=\dfrac{1}{6}+\dfrac{14}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{28}{6}=\dfrac{29}{6}$ 이다.
8. 8.$\displaystyle \left\{f(x)\right\}^{2}=|x-1|^{2}=(x-1)^{2}$ 이므로 구간을 나눌 필요가 없다. $\displaystyle \displaystyle\int_0^3(x-1)^{2}dx=\left[\dfrac{(x-1)^{3}}{3}\right]_0^3=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}=3$

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