🌱 가천대 예상 논술 4회

해설

1. 1.주어진 식의 양변을 제곱하면 $\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}=a+2+a^{-1}=6$ 이므로 $\displaystyle a+a^{-1}=4$ 이다.
2. 2.다시 제곱하면 $\displaystyle \left(a+a^{-1}\right)^{2}=a^{2}+2+a^{-2}=16$ 이므로 $\displaystyle a^{2}+a^{-2}=14$ 이다.
3. 3.세제곱 공식 $\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ 에서 $\displaystyle x=a^{\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle y=a^{-\frac{1}{2}}$ , $\displaystyle xy=1$ 이므로
4. 4.$\displaystyle \left(\sqrt{6}\right)^{3}=a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+3\sqrt{6}$ , 즉 $\displaystyle 6\sqrt{6}=a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}+3\sqrt{6}$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=6\sqrt{6}-3\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
6. 6.$\displaystyle \left(a-a^{-1}\right)^{2}=a^{2}-2+a^{-2}=14-2=12$ 이고, $\displaystyle a>1$ 이므로 $\displaystyle a>a^{-1}$ , 즉 $\displaystyle a-a^{-1}>0$ 이다.
7. 7.따라서 $\displaystyle a-a^{-1}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
8. 8.$\displaystyle a^{2}-a^{-2}=\left(a-a^{-1}\right)\left(a+a^{-1}\right)=2\sqrt{3}\times 4=8\sqrt{3}$

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해설

1. 1.원에 내접하는 사각형이므로 마주 보는 두 각의 합은 $\displaystyle \pi$ 이다. 즉 $\displaystyle \angle\mathrm{D}=\pi-\angle\mathrm{B}$ 이고 $\displaystyle \cos\mathrm{D}=-\cos\mathrm{B}$ 이다.
2. 2.삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}=25+9-30\cos\mathrm{B}$ 이고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ACD}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}=9+25-30\cos\mathrm{D}=34+30\cos\mathrm{B}$ 이다.
3. 3.두 식을 같다고 놓으면 $\displaystyle 34-30\cos\mathrm{B}=34+30\cos\mathrm{B}$ 이므로 $\displaystyle 60\cos\mathrm{B}=0$ , 즉 $\displaystyle \cos\mathrm{B}=0$ 이다.
4. 4.$\displaystyle 0<\angle\mathrm{B}<\pi$ 이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{B}=\dfrac{\pi}{2}$ 이고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}^{2}=34$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{34}$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \angle\mathrm{B}=\angle\mathrm{D}=\dfrac{\pi}{2}$ 이므로 두 삼각형은 모두 직각삼각형이고, 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times 5\times 3+\dfrac{1}{2}\times 3\times 5=15$ 이다.
6. 6.$\displaystyle \angle\mathrm{B}$ 가 직각이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$ 는 외접원의 지름이다. 따라서 반지름은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{34}}{2}$ 이다.
7. 7.삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 는 $\displaystyle \angle\mathrm{B}$ 가 직각이므로 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{BAC})=\dfrac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AC}}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}=\dfrac{3\sqrt{34}}{34}$ 이다.

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해설

1. 1.제 $\displaystyle 1$ 군부터 제 $\displaystyle n-1$ 군까지 들어 있는 수의 개수는 $\displaystyle 1+2+\cdots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 이다.
2. 2.나열된 수가 자연수를 차례로 쓴 것이므로 제 $\displaystyle n$ 군의 첫 번째 수는 $\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}+1$ 이다.
3. 3.$\displaystyle n=10$ 이면 첫 수는 $\displaystyle \dfrac{10\times 9}{2}+1=46$ 이고, 제 $\displaystyle 10$ 군에는 $\displaystyle 10$ 개의 수가 연속해 들어 있으므로 마지막 수는 $\displaystyle 55$ 이다.
4. 4.제 $\displaystyle 10$ 군의 합은 첫째항 $\displaystyle 46$ , 끝항 $\displaystyle 55$ 인 등차수열의 합이므로 $\displaystyle \dfrac{10(46+55)}{2}=5\times 101=505$ 이다.
5. 5.제 $\displaystyle n$ 군까지의 수의 개수는 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}$ 이다. $\displaystyle \dfrac{13\times 14}{2}=91$ , $\displaystyle \dfrac{14\times 15}{2}=105$ 이므로 $\displaystyle 100$ 번째 수는 제 $\displaystyle 14$ 군에 있다.
6. 6.제 $\displaystyle 13$ 군까지 $\displaystyle 91$ 개가 있으므로 $\displaystyle 100$ 번째 수는 제 $\displaystyle 14$ 군의 $\displaystyle 100-91=9$ 번째 수이다.
7. 7.제 $\displaystyle n$ 군의 첫 수는 $\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}+1$ , 끝 수는 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}$ 이고 항이 $\displaystyle n$ 개이므로 합은 $\displaystyle \dfrac{n}{2}\left\{\dfrac{n(n-1)}{2}+1+\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}=\dfrac{n\left(n^{2}+1\right)}{2}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle y=\log_2(x-3)+1$ 로 놓고 $\displaystyle x$ 에 대하여 푼다. $\displaystyle y-1=\log_2(x-3)$ 이다.
2. 2.로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x-3=2^{y-1}$ , 즉 $\displaystyle x=2^{y-1}+3$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 를 서로 바꾸면 역함수는 $\displaystyle g(x)=2^{x-1}+3$ 이다. 정의역은 $\displaystyle f$ 의 치역인 실수 전체이다.
4. 4.$\displaystyle g(5)=2^{4}+3=16+3=19$
5. 5.$\displaystyle f$ 와 $\displaystyle g$ 가 서로 역함수이므로 $\displaystyle f(g(x))=x$ 가 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(g(7))=7$ 이다.
6. 6.직접 확인하면 $\displaystyle g(7)=2^{6}+3=67$ 이고 $\displaystyle f(67)=\log_2 64+1=6+1=7$ 로 같다.
7. 7.서로 역함수인 두 함수의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다.
8. 8.같은 이유로 $\displaystyle g(f(x))=x$ 이므로 $\displaystyle g(f(11))=11$ 이다. ( $\displaystyle f(11)=\log_2 8+1=4$ , $\displaystyle g(4)=2^{3}+3=11$ 로도 확인된다.)

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해설

1. 1.$\displaystyle x<2$ 에서 $\displaystyle x\to 2^{-}$ 일 때 분모 $\displaystyle x-2\to 0$ 이다. 극한값이 존재하려면 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 하므로 $\displaystyle 4+2a=0$ , 즉 $\displaystyle a=-2$ 이다.
2. 2.이때 $\displaystyle \dfrac{x^{2}-2x}{x-2}=\dfrac{x(x-2)}{x-2}=x$ ( $\displaystyle x\ne 2$ )이므로 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=2$ 이다.
3. 3.$\displaystyle x\ge 2$ 에서 $\displaystyle f(2)=-2+b$ 이고, 연속이려면 $\displaystyle -2+b=2$ 이므로 $\displaystyle b=4$ 이다.
4. 4.정리하면 $\displaystyle f(x)=x$ ( $\displaystyle x<2$ ), $\displaystyle f(x)=-x+4$ ( $\displaystyle x\ge 2$ )이다.
5. 5.$\displaystyle f(0)=0$ 이고 $\displaystyle f(4)=-4+4=0$ 이다.
6. 6.$\displaystyle f(x)=1$ 은 $\displaystyle x<2$ 에서 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x\ge 2$ 에서 $\displaystyle -x+4=1$ 즉 $\displaystyle x=3$ 이다. 두 값 모두 각자의 범위 안에 있으므로 해는 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=3$ 이다.
7. 7.$\displaystyle x<2$ 에서 $\displaystyle f(x)=x$ 는 증가하고 $\displaystyle x\ge 2$ 에서 $\displaystyle f(x)=-x+4$ 는 감소하므로 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x=2$ 에서 최대이고 최댓값은 $\displaystyle 2$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle f(3)=27-9=18$ , $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 평균변화율은 $\displaystyle \dfrac{18-0}{3}=6$ 이다.
2. 2.$\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3$ 이므로 $\displaystyle 3c^{2}-3=6$ , 즉 $\displaystyle c^{2}=3$ 이고 $\displaystyle c=\pm\sqrt{3}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle 0<c<3$ 이므로 $\displaystyle c=\sqrt{3}$ 이다.
4. 4.$\displaystyle f\left(\sqrt{3}\right)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0$ 이므로 접점은 $\displaystyle \left(\sqrt{3},\,0\right)$ 이고 기울기는 $\displaystyle 6$ 이다. 접선은 $\displaystyle y=6\left(x-\sqrt{3}\right)=6x-6\sqrt{3}$ 이다.
5. 5.교점을 구하면 $\displaystyle x^{3}-3x=6x-6\sqrt{3}$ , 즉 $\displaystyle x^{3}-9x+6\sqrt{3}=0$ 이다.
6. 6.$\displaystyle x=\sqrt{3}$ 이 접점이므로 $\displaystyle \left(x-\sqrt{3}\right)^{2}$ 을 인수로 가진다. 실제로 $\displaystyle x^{3}-9x+6\sqrt{3}=\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}\left(x+2\sqrt{3}\right)$ 이다.
7. 7.따라서 다시 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -2\sqrt{3}$ 이다.
8. 8.$\displaystyle -2\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$ 에서 $\displaystyle f(x)-\left(6x-6\sqrt{3}\right)=\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}\left(x+2\sqrt{3}\right)>0$ 이므로 곡선이 접선보다 위에 있다.
9. 9.$\displaystyle u=x-\sqrt{3}$ 으로 치환하면 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-3\sqrt{3}}^{0}u^{2}\left(u+3\sqrt{3}\right)du=\left[\dfrac{u^{4}}{4}+\sqrt{3}u^{3}\right]_{-3\sqrt{3}}^{0}=0-\left(\dfrac{729}{4}-243\right)=\dfrac{243}{4}$ 이다.

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해설

1. 1.곡선은 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이므로 직사각형도 $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이다. 윗변의 두 꼭짓점은 $\displaystyle \left(\pm t,\,4-t^{2}\right)$ 이다.
2. 2.따라서 가로의 길이는 $\displaystyle 2t$ , 세로의 길이는 $\displaystyle 4-t^{2}$ 이므로 $\displaystyle S(t)=2t\left(4-t^{2}\right)=8t-2t^{3}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle S'(t)=8-6t^{2}$ 이고 $\displaystyle S'(t)=0$ 에서 $\displaystyle t^{2}=\dfrac{4}{3}$ , 즉 $\displaystyle t=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 이다. ( $\displaystyle 0<t<2$ )
4. 4.$\displaystyle 0<t<\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 에서 $\displaystyle S'>0$ , $\displaystyle \dfrac{2\sqrt{3}}{3}<t<2$ 에서 $\displaystyle S'<0$ 이므로 이 점에서 최대이다.
5. 5.$\displaystyle S\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)=2\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times\left(4-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}$
6. 6.이때 가로는 $\displaystyle 2t=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ , 세로는 $\displaystyle 4-t^{2}=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^{2}+1$ 이고 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle 3x^{2}\ge 0$ 이므로 $\displaystyle f'(x)\ge 1>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle f$ 는 실수 전체에서 증가하고 역함수가 존재한다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(x^{3}+x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{2}}{2}\right]_0^2=4+2=6$
3. 3.$\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle f(2)=8+2=10$ 이므로 $\displaystyle g(0)=0$ , $\displaystyle g(10)=2$ 이다.
4. 4.두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축, 직선 $\displaystyle x=2$ 로 둘러싸인 부분과 $\displaystyle y=g(x)$ 와 $\displaystyle y$ 축, 직선 $\displaystyle y=10$ 으로 둘러싸인 부분은 서로 대칭이다.
5. 5.두 넓이의 합은 가로 $\displaystyle 2$ , 세로 $\displaystyle 10$ 인 직사각형의 넓이와 같으므로 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)dx+\displaystyle\int_0^{10}g(x)dx=2\times 10=20$ 이다.
6. 6.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^{10}g(x)dx=20-6=14$ 이다.
7. 7.$\displaystyle f(x)=2$ 에서 $\displaystyle x^{3}+x=2$ , 즉 $\displaystyle (x-1)\left(x^{2}+x+2\right)=0$ 이고 $\displaystyle x^{2}+x+2$ 의 판별식이 음수이므로 실근은 $\displaystyle x=1$ 뿐이다. 따라서 $\displaystyle g(2)=1$ 이다.

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