🌱 가천대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle 3^x=t$ 로 놓으면 $\displaystyle t>0$ 이고 $\displaystyle 3^{2x}=(3^x)^2=t^2$ 이므로 주어진 방정식은 $\displaystyle t^2-10t+9=0$
2. 2.$\displaystyle (t-1)(t-9)=0$ 에서 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=9$ 이고 둘 다 양수이므로 모두 적합하다.
3. 3.$\displaystyle 3^x=1$ 에서 $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle 3^x=9=3^2$ 에서 $\displaystyle x=2$
4. 4.따라서 두 근의 합은 $\displaystyle 0+2=2$

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해설

1. 1.주어진 식의 양변을 제곱하면 $\displaystyle (\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
2. 2.좌변을 전개하면 $\displaystyle \sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$
3. 3.$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 이므로 $\displaystyle 1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}$
4. 4.$\displaystyle 2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}$

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해설

1. 1.시그마의 성질에 의하여 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(k^2+k)=\sum\limits_{k=1}^{10}k^2+\sum\limits_{k=1}^{10}k$
2. 2.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k^2=\dfrac{10\times 11\times 21}{6}=385$
3. 3.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k=\dfrac{10\times 11}{2}=55$
4. 4.따라서 $\displaystyle 385+55=440$

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해설

1. 1.로그의 밑과 진수 조건에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x\ne 1$ 이다.
2. 2.밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}$ 이므로, $\displaystyle \log_2 x=t\ (t\ne 0)$ 로 놓으면 $\displaystyle t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{5}{2}$
3. 3.양변에 $\displaystyle 2t$ 를 곱하면 $\displaystyle 2t^2+2=5t$ , 즉 $\displaystyle 2t^2-5t+2=0$
4. 4.$\displaystyle (2t-1)(t-2)=0$ 에서 $\displaystyle t=\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle t=2$
5. 5.$\displaystyle \log_2 x=\dfrac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle x=\sqrt{2}$ , $\displaystyle \log_2 x=2$ 에서 $\displaystyle x=4$ 이고 둘 다 조건 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle x\ne 1$ 을 만족시킨다.
6. 6.따라서 모든 실수 $\displaystyle x$ 의 곱은 $\displaystyle \sqrt{2}\times 4=4\sqrt{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모와 분자가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 가는 $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 공통인수를 약분한다.
2. 2.$\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ , $\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$
3. 3.$\displaystyle x\ne 1$ 이므로 $\displaystyle x-1$ 로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{x^3-1}{x^2-1}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$
4. 4.따라서 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}$

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해설

1. 1.접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수이다. $\displaystyle y'=3x^2-4x$
2. 2.$\displaystyle x=1$ 에서의 미분계수는 $\displaystyle 3\times 1^2-4\times 1=-1$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -1$ 이다.
3. 3.점 $\displaystyle (1,\,2)$ 를 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$ 인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-2=-1\times(x-1)$ , 즉 $\displaystyle y=-x+3$
4. 4.$\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle x=0$ 일 때의 $\displaystyle y$ 값이므로 $\displaystyle y=3$

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해설

1. 1.$\displaystyle x^2-2x$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}-x^2$ 이다.
2. 2.미적분의 기본정리에 의하여 $\displaystyle \displaystyle\int_1^3(x^2-2x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_1^3$
3. 3.$\displaystyle =\left(\dfrac{27}{3}-9\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=(9-9)-\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
4. 4.$\displaystyle =0+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$

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해설

1. 1.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^5|v(t)|\,dt$ 이므로 $\displaystyle v(t)$ 의 부호가 바뀌는 시각을 먼저 찾는다.
2. 2.$\displaystyle v(t)=2t-4=0$ 에서 $\displaystyle t=2$ 이고, $\displaystyle 0\le t<2$ 에서 $\displaystyle v(t)<0$ , $\displaystyle 2<t\le 5$ 에서 $\displaystyle v(t)>0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(4-2t)\,dt=\left[4t-t^2\right]_0^2=8-4=4$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_2^5(2t-4)\,dt=\left[t^2-4t\right]_2^5=(25-20)-(4-8)=5+4=9$
5. 5.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 4+9=13$

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