🌱 가천대 예상 논술 3회

해설

1. 1.$\displaystyle 4^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}=t^{2}$ 이고 $\displaystyle 2^{x+1}=2\times 2^{x}=2t$ 이다.
2. 2.그러므로 주어진 방정식은 $\displaystyle t^{2}-5\times 2t+16=0$ , 즉 $\displaystyle t^{2}-10t+16=0$ 이 된다.
3. 3.$\displaystyle t^{2}-10t+16=(t-2)(t-8)=0$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 또는 $\displaystyle t=8$ 이다. 두 값 모두 $\displaystyle t=2^{x}>0$ 을 만족시키므로 버릴 것이 없다.
4. 4.$\displaystyle 2^{x}=2$ 에서 $\displaystyle x=1$ 이고, $\displaystyle 2^{x}=8=2^{3}$ 에서 $\displaystyle x=3$ 이다.
5. 5.두 근의 합은 $\displaystyle 1+3=4$ 이고 두 근의 곱은 $\displaystyle 1\times 3=3$ 이다.
6. 6.$\displaystyle \alpha+\beta=4$ 이므로 $\displaystyle 2^{\alpha+\beta}=2^{4}=16$ 이다. 이는 두 $\displaystyle t$ 값의 곱 $\displaystyle 2\times 8=16$ 과 같으며, 검산으로 쓸 수 있다.

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해설

1. 1.로그가 정의되려면 진수가 모두 양수여야 하므로 $\displaystyle x-1>0$ 이고 $\displaystyle x+3>0$ 이다. 두 조건의 공통 범위는 $\displaystyle x>1$ 이다.
2. 2.(가)에서 로그의 성질에 의하여 $\displaystyle \log_2\{(x-1)(x+3)\}=5$ 이므로 $\displaystyle (x-1)(x+3)=2^{5}=32$ 이다.
3. 3.정리하면 $\displaystyle x^{2}+2x-35=0$ , $\displaystyle (x-5)(x+7)=0$ 이므로 $\displaystyle x=5$ 또는 $\displaystyle x=-7$ 이다.
4. 4.진수조건 $\displaystyle x>1$ 에 의하여 $\displaystyle x=-7$ 은 버리고 $\displaystyle x=5$ 만 남는다.
5. 5.(나)는 $\displaystyle \log_2\{(x-1)(x+3)\}\le 5$ 이고 밑 $\displaystyle 2$ 가 $\displaystyle 1$ 보다 크므로 $\displaystyle (x-1)(x+3)\le 32$ , 즉 $\displaystyle x^{2}+2x-35\le 0$ 이다.
6. 6.$\displaystyle (x-5)(x+7)\le 0$ 에서 $\displaystyle -7\le x\le 5$ 이고, 진수조건 $\displaystyle x>1$ 과의 공통 범위는 $\displaystyle 1<x\le 5$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle a>0$ 이므로 최댓값은 $\displaystyle a+c=5$ , 최솟값은 $\displaystyle -a+c=-1$ 이다.
2. 2.두 식을 더하면 $\displaystyle 2c=4$ 이므로 $\displaystyle c=2$ 이고, 이를 대입하면 $\displaystyle a=3$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \sin bx$ 의 주기는 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{b}=\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $\displaystyle b=4$ 이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=3\sin 4x+2$
4. 4.$\displaystyle f\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=3\sin\dfrac{\pi}{2}+2=3+2=5$
5. 5.$\displaystyle f(x)=2$ 에서 $\displaystyle 3\sin 4x=0$ , 즉 $\displaystyle \sin 4x=0$ 이다.
6. 6.$\displaystyle 0\le x<\pi$ 이므로 $\displaystyle 0\le 4x<4\pi$ 이고, $\displaystyle \sin\theta=0$ 인 $\displaystyle \theta$ 는 $\displaystyle 0,\,\pi,\,2\pi,\,3\pi$ 의 $\displaystyle 4$ 개이다. 따라서 $\displaystyle x=0,\,\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{4}$ 의 $\displaystyle 4$ 개이다.
7. 7.최댓값은 $\displaystyle \sin 4x=1$ 일 때이므로 $\displaystyle 4x=\dfrac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle 4x=\dfrac{5\pi}{2}$ , 즉 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{8}$ 또는 $\displaystyle x=\dfrac{5\pi}{8}$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle a_2=2\times 1+1=3$ , $\displaystyle a_3=2\times 3+1=7$ , $\displaystyle a_4=2\times 7+1=15$
2. 2.$\displaystyle b_n=a_n+1$ 이라 하면 $\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}+1=\left(2a_n+1\right)+1=2\left(a_n+1\right)=2b_n$ 이다.
3. 3.즉 $\displaystyle \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2$ 로 일정하므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 공비가 $\displaystyle 2$ 인 등비수열이고, $\displaystyle b_1=a_1+1=2$ 이다.
4. 4.따라서 $\displaystyle b_n=2\times 2^{n-1}=2^{n}$ 이고 $\displaystyle a_n=b_n-1=2^{n}-1$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{8}a_k=\sum\limits_{k=1}^{8}\left(2^{k}-1\right)=\dfrac{2\left(2^{8}-1\right)}{2-1}-8=2\times 255-8=510-8=502$

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해설

1. 1.분모가 없는 $\displaystyle \infty-\infty$ 꼴이므로 분자를 유리화한다.
2. 2.$\displaystyle \sqrt{x^{2}+ax}-x=\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+ax}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+ax}+x\right)}{\sqrt{x^{2}+ax}+x}=\dfrac{ax}{\sqrt{x^{2}+ax}+x}$
3. 3.분모와 분자를 $\displaystyle x$ ( $\displaystyle x>0$ )로 나누면 $\displaystyle \dfrac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}$ 이고, $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 이 값은 $\displaystyle \dfrac{a}{2}$ 이다.
4. 4.따라서 $\displaystyle \dfrac{a}{2}=3$ 이므로 $\displaystyle a=6$ 이다.
5. 5.$\displaystyle \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\dfrac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ 이므로 $\displaystyle x\to 0$ 에서 극한값은 $\displaystyle \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$ 이다.
6. 6.$\displaystyle x\to-\infty$ 에서는 $\displaystyle x=-s$ ( $\displaystyle s\to\infty$ )로 놓으면 $\displaystyle \sqrt{s^{2}-6s}-s=\dfrac{-6s}{\sqrt{s^{2}-6s}+s}$ 이고, $\displaystyle s$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{-6}{2}=-3$ 이다.
7. 7.(가)에서 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+6x}-x\to 3$ 이므로 $\displaystyle x\to\infty$ 에서 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+6x}$ 는 $\displaystyle x+3$ 에 가까워진다. 즉 직선은 $\displaystyle y=x+3$ 이다.

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해설

1. 1.분자를 $\displaystyle f(1+h)-f(1)$ 과 $\displaystyle f(1)-f(1-h)$ 로 쪼개면 $\displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1-h)-f(1)}{-h}=f'(1)+f'(1)=2f'(1)$ 이다.
2. 2.그러므로 $\displaystyle 2f'(1)=8$ , 즉 $\displaystyle f'(1)=4$ 이다.
3. 3.$\displaystyle f'(x)=3x^{2}+a$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+a=4$ 에서 $\displaystyle a=1$ 이다.
4. 4.$\displaystyle f(0)=b=2$ 이므로 $\displaystyle b=2$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^{3}+x+2$ 이다.
5. 5.점 $\displaystyle (0,\,2)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f'(0)=0+1=1$ 이므로 접선은 $\displaystyle y-2=1\times(x-0)$ , 즉 $\displaystyle y=x+2$ 이다.
6. 6.$\displaystyle \dfrac{f(x)-f(1)}{x^{2}-1}=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\times\dfrac{1}{x+1}$ 이므로 극한값은 $\displaystyle f'(1)\times\dfrac{1}{2}=4\times\dfrac{1}{2}=2$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x-12=6\left(x^{2}-x-2\right)=6(x-2)(x+1)$
2. 2.$\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이고, 부호가 양 → 음 → 양이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
3. 3.$\displaystyle f(-1)=-2-3+12+k=k+7$ , $\displaystyle f(2)=16-12-24+k=k-20$
4. 4.삼차함수가 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극댓값) $\displaystyle >0$ 이고 (극솟값) $\displaystyle <0$ 이어야 한다.
5. 5.즉 $\displaystyle k+7>0$ 이고 $\displaystyle k-20<0$ 이므로 $\displaystyle -7<k<20$ 이다.
6. 6.$\displaystyle x\ge 0$ 에서 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값은 극소인 $\displaystyle x=2$ 에서의 값 $\displaystyle k-20$ 이다. ( $\displaystyle f(0)=k$ 는 이보다 크다.)
7. 7.$\displaystyle k-20\ge 0$ 에서 $\displaystyle k\ge 20$ 이므로 $\displaystyle k$ 의 최솟값은 $\displaystyle 20$ 이다.

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해설

1. 1.양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle f(x)=3x^{2}-4x+1$ 이다.
2. 2.$\displaystyle f(x)=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1-\dfrac{4}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{3}$ 이므로 최솟값은 $\displaystyle -\dfrac{1}{3}$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2 f(x)dx=\left[x^{3}-2x^{2}+x\right]_0^2=8-8+2=2$ 이다. 주어진 조건에 $\displaystyle x=2$ 를 대입해도 같다.
4. 4.$\displaystyle f(x)=(3x-1)(x-1)$ 이므로 $\displaystyle 0<x<\dfrac{1}{3}$ 에서 $\displaystyle f(x)>0$ , $\displaystyle \dfrac{1}{3}<x<1$ 에서 $\displaystyle f(x)<0$ 이다.
5. 5.$\displaystyle F(x)=x^{3}-2x^{2}+x$ 라 하면 $\displaystyle F(0)=0$ , $\displaystyle F\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1-6+9}{27}=\dfrac{4}{27}$ , $\displaystyle F(1)=0$ 이다.
6. 6.넓이는 부호가 바뀌는 $\displaystyle x=\dfrac{1}{3}$ 에서 끊어 더하므로 $\displaystyle \dfrac{4}{27}+\left|0-\dfrac{4}{27}\right|=\dfrac{8}{27}$ 이다.
7. 7.$\displaystyle F'(x)=f(x)$ 이고 $\displaystyle f$ 의 부호가 $\displaystyle x=\dfrac{1}{3}$ 에서 양 → 음, $\displaystyle x=1$ 에서 음 → 양으로 바뀌므로 $\displaystyle F$ 는 $\displaystyle x=\dfrac{1}{3}$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이다. 극댓값은 $\displaystyle \dfrac{4}{27}$ , 극솟값은 $\displaystyle F(1)=0$ 이다.

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