🌱 가천대 예상 논술 2회

해설

1. 1.밑의 변환에 의하여 $\displaystyle \log_3 5=\dfrac{\log_2 5}{\log_2 3}$ 이므로 $\displaystyle b=\dfrac{\log_2 5}{a}$ , 즉 $\displaystyle \log_2 5=ab$ 이다.
2. 2.$\displaystyle \log_6 45$ 를 밑이 $\displaystyle 2$ 인 로그로 바꾸면 $\displaystyle \log_6 45=\dfrac{\log_2 45}{\log_2 6}$ 이다.
3. 3.분자는 $\displaystyle \log_2 45=\log_2\left(3^2\times 5\right)=2\log_2 3+\log_2 5=2a+ab$ 이다.
4. 4.분모는 $\displaystyle \log_2 6=\log_2(2\times 3)=1+\log_2 3=1+a$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle \log_6 45=\dfrac{2a+ab}{1+a}=\dfrac{a(2+b)}{1+a}$
6. 6.$\displaystyle \log_5 12$ 도 밑을 $\displaystyle 2$ 로 바꾸면 $\displaystyle \dfrac{\log_2 12}{\log_2 5}=\dfrac{\log_2\left(2^2\times 3\right)}{ab}=\dfrac{2+a}{ab}$ 이다.
7. 7.$\displaystyle a=1.6$ , $\displaystyle b=1.5$ 를 대입하면 $\displaystyle \dfrac{1.6\times(2+1.5)}{1+1.6}=\dfrac{1.6\times 3.5}{2.6}=\dfrac{5.6}{2.6}=\dfrac{28}{13}$

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해설

1. 1.등비수열의 일반항은 $\displaystyle a_n=a_1 r^{n-1}$ 이므로 $\displaystyle a_4=2r^{3}=54$ 에서 $\displaystyle r^{3}=27$ , 즉 $\displaystyle r=3$ 이다.
2. 2.따라서 $\displaystyle a_n=2\times 3^{n-1}$
3. 3.등비수열의 합 공식에 의하여 $\displaystyle S_n=\dfrac{2\left(3^{n}-1\right)}{3-1}=3^{n}-1$ 이다.
4. 4.그러므로 $\displaystyle S_5=3^{5}-1=243-1=242$
5. 5.$\displaystyle S_n>1000$ 은 $\displaystyle 3^{n}-1>1000$ , 즉 $\displaystyle 3^{n}>1001$ 이다.
6. 6.$\displaystyle 3^{6}=729<1001$ 이고 $\displaystyle 3^{7}=2187>1001$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=7$ 이다.
7. 7.$\displaystyle \dfrac{a_k}{2}=3^{k-1}$ 이므로 $\displaystyle \log_3\dfrac{a_k}{2}=k-1$ 이고, $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(k-1)=0+1+\cdots+9=\dfrac{9\times 10}{2}=45$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle S_n=n^{2}+3n$ 이라 하면 $\displaystyle n\ge 2$ 일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=\left(n^{2}+3n\right)-\left\{(n-1)^{2}+3(n-1)\right\}=2n+2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle n=1$ 일 때 $\displaystyle a_1=S_1=4$ 이고 $\displaystyle 2\times 1+2=4$ 로 같으므로 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=2n+2$ 이다.
3. 3.$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\{2(n+1)+2\}-(2n+2)=2$ 로 일정하므로 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 공차가 $\displaystyle 2$ 인 등차수열이다.
4. 4.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k\,a_k=\sum\limits_{k=1}^{10}k(2k+2)=2\sum\limits_{k=1}^{10}k^{2}+2\sum\limits_{k=1}^{10}k$
5. 5.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k^{2}=\dfrac{10\times 11\times 21}{6}=385$ , $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k=55$ 이므로 $\displaystyle 2\times 385+2\times 55=770+110=880$
6. 6.$\displaystyle a_k=2(k+1)$ , $\displaystyle a_{k+1}=2(k+2)$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}=\dfrac{1}{4(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)$
7. 7.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k a_{k+1}}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{48}$

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해설

1. 1.사인법칙에 의하여 세 변의 길이의 비는 대응하는 사인값의 비와 같으므로 $\displaystyle a:b:c=3:4:5$ 이다.
2. 2.세 변을 $\displaystyle 3t$ , $\displaystyle 4t$ , $\displaystyle 5t$ ( $\displaystyle t>0$ )로 놓으면 둘레가 $\displaystyle 12t=24$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 이고 $\displaystyle a=6$ , $\displaystyle b=8$ , $\displaystyle c=10$ 이다.
3. 3.가장 큰 각은 가장 긴 변 $\displaystyle c$ 의 대각인 $\displaystyle C$ 이다. 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos C=\dfrac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times 6\times 8}=\dfrac{36+64-100}{96}=0$
4. 4.$\displaystyle 0<C<\pi$ 이고 $\displaystyle \cos C=0$ 이므로 $\displaystyle C=\dfrac{\pi}{2}$ 이다. 즉 직각삼각형이다.
5. 5.$\displaystyle C=\dfrac{\pi}{2}$ 이므로 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times 6\times 8=24$ 이다.
6. 6.사인법칙에 의하여 $\displaystyle \dfrac{c}{\sin C}=2R$ 이고 $\displaystyle \sin C=1$ 이므로 $\displaystyle 2R=10$ , 즉 $\displaystyle R=5$ 이다.
7. 7.내접원의 반지름을 $\displaystyle r$ 라 하면 넓이는 $\displaystyle r\times\dfrac{a+b+c}{2}=12r$ 이므로 $\displaystyle 12r=24$ , 즉 $\displaystyle r=2$ 이다.

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해설

1. 1.$\displaystyle y'=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 에서 극대, $\displaystyle x=1$ 에서 극소이고 극댓값은 $\displaystyle -1+3=2$ , 극솟값은 $\displaystyle 1-3=-2$ 이다.
2. 2.$\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle y'(1)=3-3=0$ 이다.
3. 3.접점이 $\displaystyle (1,\,-2)$ 이므로 접선은 $\displaystyle y=-2$ 이다.
4. 4.교점을 구하면 $\displaystyle x^{3}-3x=-2$ 에서 $\displaystyle x^{3}-3x+2=0$ 이다. $\displaystyle x=1$ 이 근이므로 인수분해하면 $\displaystyle (x-1)^{2}(x+2)=0$ 이다.
5. 5.따라서 $\displaystyle x=1$ (중근, 접점)과 $\displaystyle x=-2$ 이고, 다시 만나는 점은 $\displaystyle (-2,\,-2)$ 이다.
6. 6.$\displaystyle -2<x<1$ 에서 $\displaystyle \left(x^{3}-3x\right)-(-2)=(x-1)^{2}(x+2)>0$ 이므로 곡선이 접선보다 위에 있다.
7. 7.넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1}\left(x^{3}-3x+2\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{3x^{2}}{2}+2x\right]_{-2}^{1}=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+2\right)-(4-6-4)=\dfrac{3}{4}+6=\dfrac{27}{4}$

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해설

1. 1.정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle f'(x)=x^{2}-2x$ 이다.
2. 2.$\displaystyle f(x)=\left[\dfrac{t^{3}}{3}-t^{2}\right]_1^x=\left(\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}+\dfrac{2}{3}$
3. 3.$\displaystyle f'(x)=x(x-2)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이고, $\displaystyle f'$ 의 부호가 양 → 음 → 양으로 바뀌므로 $\displaystyle x=0$ 에서 극대, $\displaystyle x=2$ 에서 극소이다.
4. 4.$\displaystyle f(0)=\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle f(2)=\dfrac{8}{3}-4+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}-4=-\dfrac{2}{3}$
5. 5.극댓값이 양수, 극솟값이 음수이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle x$ 축과 서로 다른 세 점에서 만난다. 따라서 실근은 $\displaystyle 3$ 개이다.
6. 6.실제로 $\displaystyle 3f(x)=x^{3}-3x^{2}+2=(x-1)\left(x^{2}-2x-2\right)$ 이므로 근은 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=1\pm\sqrt{3}$ 의 세 개이다.
7. 7.$\displaystyle f(3)=\dfrac{27}{3}-9+\dfrac{2}{3}=9-9+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$ 이므로 $\displaystyle f(0)$ 과 $\displaystyle f(3)$ 은 같다.

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해설

1. 1.가속도는 속도를 시각으로 미분한 값이므로 $\displaystyle v'(t)=2$ 로 일정하다.
2. 2.$\displaystyle x(t)=5+\displaystyle\int_0^t (2s-6)ds=5+\left[s^{2}-6s\right]_0^t=t^{2}-6t+5$
3. 3.$\displaystyle x(t)=0$ 에서 $\displaystyle t^{2}-6t+5=(t-1)(t-5)=0$ 이므로 $\displaystyle t=1$ 또는 $\displaystyle t=5$ 이다. 두 값 모두 $\displaystyle 0\le t\le 8$ 안에 있다.
4. 4.$\displaystyle v(t)=2t-6=0$ 에서 $\displaystyle t=3$ 이고, $\displaystyle t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle t>3$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이므로 $\displaystyle t=3$ 에서 운동 방향이 바뀐다.
5. 5.$\displaystyle x(0)=5$ , $\displaystyle x(3)=9-18+5=-4$ , $\displaystyle x(8)=64-48+5=21$ 이다.
6. 6.움직인 거리는 방향이 바뀌는 $\displaystyle t=3$ 에서 끊어 더하므로 $\displaystyle |-4-5|+|21-(-4)|=9+25=34$ 이다.

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해설

1. 1.두 식을 연립하면 $\displaystyle x^{2}-2x=-x^{2}+2x$ 에서 $\displaystyle 2x^{2}-4x=2x(x-2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이다.
2. 2.교점의 좌표는 $\displaystyle (0,\,0)$ , $\displaystyle (2,\,0)$ 이다.
3. 3.(가)는 $\displaystyle y=(x-1)^{2}-1$ 이므로 꼭짓점이 $\displaystyle (1,\,-1)$ 이고, (나)는 $\displaystyle y=-(x-1)^{2}+1$ 이므로 꼭짓점이 $\displaystyle (1,\,1)$ 이다.
4. 4.$\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle \left(-x^{2}+2x\right)-\left(x^{2}-2x\right)=-2x^{2}+4x=2x(2-x)>0$ 이므로 (나)가 위에 있다.
5. 5.넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2\left(-2x^{2}+4x\right)dx=\left[-\dfrac{2x^{3}}{3}+2x^{2}\right]_0^2=-\dfrac{16}{3}+8=\dfrac{8}{3}$
6. 6.(가)에서 $\displaystyle y'=2x-2$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서의 기울기는 $\displaystyle -2$ 이고 접점이 $\displaystyle (0,\,0)$ 이므로 접선은 $\displaystyle y=-2x$ 이다.
7. 7.(나)에서 $\displaystyle y'=-2x+2$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서의 기울기는 $\displaystyle 2$ 이고 접선은 $\displaystyle y=2x$ 이다.
8. 8.두 접선은 원점에서 만나고, 직선 $\displaystyle x=2$ 와 각각 $\displaystyle (2,\,-4)$ , $\displaystyle (2,\,4)$ 에서 만난다. 세 점 $\displaystyle (0,\,0)$ , $\displaystyle (2,\,4)$ , $\displaystyle (2,\,-4)$ 로 이루어진 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times 8\times 2=8$ 이다.

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