🌱 가천대 예상 논술 1회

해설

1. 1.$\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$ 이므로 주어진 방정식은 $\displaystyle 2\cos^2 x+3\sin x-a=0$
2. 2.$\displaystyle \cos^2 x=1-\sin^2 x$ 를 대입하면 $\displaystyle 2\left(1-\sin^2 x\right)+3\sin x-a=0$ , 즉 $\displaystyle -2\sin^2 x+3\sin x+2=a$
3. 3.$\displaystyle \sin x=s$ 로 놓으면 $\displaystyle -1\le s\le 1$ 이고, 방정식이 실근을 가지려면 $\displaystyle a$ 가 함수 $\displaystyle g(s)=-2s^2+3s+2$ 의 치역에 속해야 한다.
4. 4.$\displaystyle g(s)=-2\left(s-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{25}{8}$ 이고 꼭짓점 $\displaystyle s=\dfrac{3}{4}$ 이 구간 $\displaystyle [-1,\,1]$ 안에 있으므로 $\displaystyle s=\dfrac{3}{4}$ 에서 최대이다. 최댓값은 $\displaystyle \dfrac{25}{8}$
5. 5.최솟값은 구간의 양 끝에서 비교한다. $\displaystyle g(-1)=-2-3+2=-3$ , $\displaystyle g(1)=-2+3+2=3$ 이므로 최솟값은 $\displaystyle -3$
6. 6.따라서 $\displaystyle M=\dfrac{25}{8}$ , $\displaystyle m=-3$ 이고 $\displaystyle M+m=\dfrac{25}{8}-3=\dfrac{25-24}{8}=\dfrac{1}{8}$

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해설

1. 1.$\displaystyle y=n$ 과 $\displaystyle y=\log_2 x$ 의 교점은 $\displaystyle \log_2 x=n$ 에서 $\displaystyle x=2^n$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_n\left(2^n,\,n\right)$ 이다.
2. 2.$\displaystyle y=n$ 과 $\displaystyle y=\log_2\dfrac{x}{4}$ 의 교점은 $\displaystyle \log_2\dfrac{x}{4}=n$ 에서 $\displaystyle \dfrac{x}{4}=2^n$ , 즉 $\displaystyle x=2^{n+2}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{Q}_n\left(2^{n+2},\,n\right)$ 이다.
3. 3.두 점의 $\displaystyle y$ 좌표가 같으므로 선분의 길이는 $\displaystyle x$ 좌표의 차이다. $\displaystyle a_n=2^{n+2}-2^n=2^n(4-1)=3\times 2^n$
4. 4.즉 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle 6$ , 공비가 $\displaystyle 2$ 인 등비수열이다.
5. 5.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}3\times 2^k=3\times\dfrac{2\left(2^{10}-1\right)}{2-1}=6\left(2^{10}-1\right)=6\times 1023=6138$
6. 6.$\displaystyle a_n>1000$ 은 $\displaystyle 3\times 2^n>1000$ , 즉 $\displaystyle 2^n>\dfrac{1000}{3}=333.3\cdots$ 이다. $\displaystyle 2^8=256$ , $\displaystyle 2^9=512$ 이므로 최소의 자연수는 $\displaystyle n=9$ 이다. ($\displaystyle a_8=768<1000$ , $\displaystyle a_9=1536>1000$)

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해설

1. 1.모든 항이 양수임을 먼저 확인한다. $\displaystyle a_1=1>0$ 이고 $\displaystyle a_n>0$ 이면 $\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+1}>0$ 이므로 모든 항이 양수이고 역수를 취할 수 있다.
2. 2.양변의 역수를 취하면 $\displaystyle \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{2a_n+1}{a_n}=2+\dfrac{1}{a_n}$
3. 3.$\displaystyle b_n=\dfrac{1}{a_n}$ 으로 놓으면 $\displaystyle b_{n+1}=b_n+2$ 이므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 공차가 $\displaystyle 2$ 인 등차수열이다.
4. 4.첫째항은 $\displaystyle b_1=\dfrac{1}{a_1}=1$ 이므로 $\displaystyle b_n=1+(n-1)\times 2=2n-1$
5. 5.따라서 $\displaystyle a_n=\dfrac{1}{2n-1}$ 이고 $\displaystyle a_{10}=\dfrac{1}{19}$
6. 6.또 $\displaystyle \dfrac{1}{a_k}=b_k=2k-1$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{1}{a_k}=\sum\limits_{k=1}^{10}(2k-1)=10^2=100$
7. 7.$\displaystyle a_n<\dfrac{1}{100}$ 은 $\displaystyle \dfrac{1}{2n-1}<\dfrac{1}{100}$ , 즉 $\displaystyle 2n-1>100$ 이므로 $\displaystyle n>50.5$ 이다. 따라서 최소의 자연수는 $\displaystyle n=51$ 이다. ($\displaystyle a_{50}=\dfrac{1}{99}>\dfrac{1}{100}$ , $\displaystyle a_{51}=\dfrac{1}{101}<\dfrac{1}{100}$)

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해설

1. 1.사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin\mathrm{A}:\sin\mathrm{B}:\sin\mathrm{C}=a:b:c$ 이므로 양수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle a=5k$ , $\displaystyle b=6k$ , $\displaystyle c=7k$ 로 놓을 수 있다.
2. 2.둘레의 길이가 $\displaystyle 36$ 이므로 $\displaystyle 18k=36$ , 즉 $\displaystyle k=2$ 이고 $\displaystyle a=10$ , $\displaystyle b=12$ , $\displaystyle c=14$ 이다.
3. 3.코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\mathrm{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{144+196-100}{2\times 12\times 14}=\dfrac{240}{336}=\dfrac{5}{7}$
4. 4.삼각형의 내각이므로 $\displaystyle \sin\mathrm{A}>0$ 이고, $\displaystyle \sin^2\mathrm{A}=1-\dfrac{25}{49}=\dfrac{24}{49}$ 에서 $\displaystyle \sin\mathrm{A}=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}$
5. 5.넓이는 $\displaystyle S=\dfrac{1}{2}bc\sin\mathrm{A}=\dfrac{1}{2}\times 12\times 14\times\dfrac{2\sqrt{6}}{7}=84\times\dfrac{2\sqrt{6}}{7}=24\sqrt{6}$
6. 6.사인법칙 $\displaystyle \dfrac{a}{\sin\mathrm{A}}=2R$ 에서 $\displaystyle 2R=\dfrac{10}{\frac{2\sqrt{6}}{7}}=\dfrac{70}{2\sqrt{6}}=\dfrac{35}{\sqrt{6}}$ 이므로 $\displaystyle R=\dfrac{35}{2\sqrt{6}}=\dfrac{35\sqrt{6}}{12}$
7. 7.가장 큰 각은 가장 긴 변 $\displaystyle c=14$ 의 맞은편 각 $\displaystyle \mathrm{C}$ 이다. $\displaystyle \cos\mathrm{C}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{100+144-196}{2\times 10\times 12}=\dfrac{48}{240}=\dfrac{1}{5}>0$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 예각이다.

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해설

1. 1.미분가능하면 연속이므로 $\displaystyle x=1$ 에서 좌극한과 함숫값이 같아야 한다. $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1-}f(x)=1+a$ , $\displaystyle f(1)=b+c$ 이므로 $\displaystyle 1+a=b+c$ $\displaystyle \cdots$ ㉠
2. 2.$\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=2x+a$ , $\displaystyle x>1$ 에서 $\displaystyle f'(x)=b$ 이고 $\displaystyle x=1$ 에서 미분가능하므로 좌·우 미분계수가 같아야 한다. 즉 $\displaystyle 2+a=b$ $\displaystyle \cdots$ ㉡
3. 3.$\displaystyle f(2)=5$ 이고 $\displaystyle 2$ 는 $\displaystyle x\ge 1$ 구간에 있으므로 $\displaystyle 2b+c=5$ $\displaystyle \cdots$ ㉢
4. 4.㉡에서 $\displaystyle b=a+2$ 이고 이를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 1+a=a+2+c$ , 즉 $\displaystyle c=-1$
5. 5.㉢에 대입하면 $\displaystyle 2(a+2)-1=5$ 에서 $\displaystyle 2a+3=5$ , 즉 $\displaystyle a=1$ 이고 $\displaystyle b=3$ 이다.
6. 6.따라서 $\displaystyle a+b+c=1+3+(-1)=3$
7. 7.또 $\displaystyle f(1)=b+c=3+(-1)=2$ 이고, $\displaystyle x=1$ 에서의 미분계수는 ㉡의 양변이 같은 값이므로 $\displaystyle f'(1)=b=3$ 이다.

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해설

1. 1.첫 번째 조건에서 $\displaystyle f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수이다.
2. 2.두 번째 조건에서 $\displaystyle x\to 1$ 일 때 분모 $\displaystyle \to 0$ 이고 극한값이 존재하므로 분자도 $\displaystyle 0$ 으로 가야 한다. $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle f(1)=0$
3. 3.세 번째 조건에서 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle x-1$ 을 인수로 가진다. 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 삼차함수이므로 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x-r)$ 로 놓을 수 있다.
4. 4.두 번째 조건에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x(x-1)(x-r)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}x(x-r)=1\times(1-r)=4$ 이므로 $\displaystyle r=-3$
5. 5.따라서 $\displaystyle f(x)=x(x-1)(x+3)$ 이고 $\displaystyle f(2)=2\times 1\times 5=10$
6. 6.전개하면 $\displaystyle f(x)=x^3+2x^2-3x$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=3x^2+4x-3$ 이고 $\displaystyle f'(0)=-3$ 이다.
7. 7.원점은 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 곡선 위의 점이고, 그 점에서의 접선은 기울기가 $\displaystyle -3$ 이므로 $\displaystyle y-0=-3(x-0)$ , 즉 $\displaystyle y=-3x$ 이다.

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해설

1. 1.교점을 구한다. $\displaystyle \left|x^2-2x\right|=3$ 에서 $\displaystyle x^2-2x=3$ 또는 $\displaystyle x^2-2x=-3$ 이다.
2. 2.$\displaystyle x^2-2x-3=0$ 에서 $\displaystyle (x+1)(x-3)=0$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=3$ 이다. $\displaystyle x^2-2x+3=0$ 은 판별식이 $\displaystyle 4-12<0$ 이라 실근이 없다. 따라서 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle -1$ 과 $\displaystyle 3$ 뿐이다.
3. 3.구간 $\displaystyle -1\le x\le 3$ 에서 직선이 곡선보다 위에 있으므로 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{3}\left\{3-\left|x^2-2x\right|\right\}dx=3\times 4-\displaystyle\int_{-1}^{3}\left|x^2-2x\right|dx$
4. 4.$\displaystyle x^2-2x=x(x-2)$ 이므로 $\displaystyle -1<x<0$ 과 $\displaystyle 2<x<3$ 에서 양수, $\displaystyle 0<x<2$ 에서 음수이다. 세 구간으로 나누어 계산하면 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{0}(x^2-2x)dx=\dfrac{4}{3}$ , $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx=\dfrac{4}{3}$ , $\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{3}(x^2-2x)dx=\dfrac{4}{3}$
5. 5.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{3}\left|x^2-2x\right|dx=\dfrac{4}{3}\times 3=4$ 이고, (가)의 넓이는 $\displaystyle 12-4=8$
6. 6.(나) $\displaystyle y=\left|x^2-2x\right|$ 의 그래프는 $\displaystyle 0\le x\le 2$ 에서 위로 볼록한 아치 모양이고 $\displaystyle x=1$ 에서 최댓값 $\displaystyle 1$ 을 가지며, 그 밖에서는 바깥쪽으로 올라간다.
7. 7.(나) 따라서 $\displaystyle y=k$ 와의 교점은 $\displaystyle 0<k<1$ 이면 $\displaystyle 4$ 개, $\displaystyle k=1$ 이면 $\displaystyle 3$ 개, $\displaystyle k>1$ 이면 $\displaystyle 2$ 개다. 양수 $\displaystyle k$ 중 세 점에서 만나는 것은 $\displaystyle k=1$ 이다.
8. 8.(다) 같은 분류에서 네 점에서 만나는 것은 $\displaystyle 0<k<1$ 일 때이다.

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해설

1. 1.위치는 속도를 적분한 것이고 출발점이 원점이므로 $\displaystyle x(t)=\displaystyle\int_0^t\left(3s^2-12s+9\right)ds=t^3-6t^2+9t$
2. 2.$\displaystyle x(t)=t\left(t^2-6t+9\right)=t(t-3)^2$ 이므로 $\displaystyle x(t)=0$ 인 시각은 $\displaystyle t=0$ 과 $\displaystyle t=3$ (중근)이다. 출발 시각을 제외하면 처음 되돌아오는 시각은 $\displaystyle t=3$ 이다.
3. 3.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3\left|v(t)\right|dt$ 이므로 $\displaystyle v$ 의 부호를 조사한다. $\displaystyle v(t)=3(t-1)(t-3)$ 이므로 $\displaystyle 0\le t<1$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 1<t<3$ 에서 $\displaystyle v<0$ 이다.
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(3t^2-12t+9\right)dt=\left[t^3-6t^2+9t\right]_0^1=1-6+9=4$
5. 5.$\displaystyle \displaystyle\int_1^3\left\{-\left(3t^2-12t+9\right)\right\}dt=-\left[t^3-6t^2+9t\right]_1^3=-\left\{(27-54+27)-4\right\}=4$
6. 6.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 4+4=8$ 이다. 위치는 원점으로 돌아왔지만 움직인 거리는 $\displaystyle 0$ 이 아니다.
7. 7.그때의 속도는 $\displaystyle v(3)=27-36+9=0$ 이다. $\displaystyle x(t)=t(t-3)^2$ 에서 $\displaystyle t=3$ 이 중근이므로 그 시각에 속도가 $\displaystyle 0$ 이 되는 것이 자연스럽다.

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