가천대 예상 논술 9회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 지수방정식

방정식 $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{x}=8$ 의 해를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle x=6$

해설

1. $\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ 이므로 좌변은 $\displaystyle \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{x}=2^{\frac{x}{2}}$
2.우변은 $\displaystyle 8=2^3$ 이다.
3.밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle \dfrac{x}{2}=3$
4.따라서 $\displaystyle x=6$

채점 포인트

1	좌변을 $\displaystyle 2^{\frac{x}{2}}$ 로 고친 경우	3
2	우변을 $\displaystyle 2^3$ 으로 고친 경우	3
3	지수를 비교한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle x=6$	1
계		10

실전 조언 · 근호는 지수 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 다. 밑을 $\displaystyle 2$ 로 통일하는 순간 지수 비교로 끝난다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 20번

2번10점수학Ⅰ · 로그

$\displaystyle \log_2 3+\log_2 5-\log_2 15$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle 0$

해설

1.밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱, 차는 진수의 나눗셈이다.
2.따라서 주어진 식은 $\displaystyle \log_2\dfrac{3\times 5}{15}$
3. $\displaystyle \dfrac{15}{15}=1$ 이므로 $\displaystyle \log_2 1$
4. $\displaystyle \log_a 1=0$ 이므로 값은 $\displaystyle 0$ 이다.

채점 포인트

1	세 항을 하나의 로그로 묶은 경우	3
2	진수가 $\displaystyle 1$ 임을 계산한 경우	3
3	$\displaystyle \log_2 1=0$ 임을 밝힌 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle 0$	1
계		10

실전 조언 · 진수가 $\displaystyle 1$ 이면 밑에 관계없이 로그값은 $\displaystyle 0$ 이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 24번

3번10점수학Ⅰ · 삼각방정식

$\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에서 방정식 $\displaystyle \tan x=\sqrt{3}$ 의 모든 해의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{5\pi}{3}$

해설

1. $\displaystyle \tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ 이므로 하나의 해는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ 이다.
2.탄젠트함수의 주기는 $\displaystyle \pi$ 이므로 다른 해는 $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4\pi}{3}$ 이다.
3.두 값 모두 $\displaystyle 0\le x<2\pi$ 에 속하고, 그 밖의 해는 이 구간에 없다.
4.따라서 모든 해의 합은 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$

채점 포인트

1	$\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}$ 을 구한 경우	3
2	주기가 $\displaystyle \pi$ 임을 이용해 다른 해를 구한 경우	4
3	두 해가 구간에 속함을 확인한 경우	2
4	최종 답 $\displaystyle \dfrac{5\pi}{3}$	1
계		10

실전 조언 · 탄젠트의 주기는 $\displaystyle 2\pi$ 가 아니라 $\displaystyle \pi$ 다. 한 주기( $\displaystyle 2\pi$ ) 안에 해가 두 개다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 21번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

$\displaystyle \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^2+x-2}{x+2}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle -3$

해설

1.분자에 $\displaystyle x=-2$ 를 대입하면 $\displaystyle 4-2-2=0$ 이므로 $\displaystyle x+2$ 를 인수로 가진다.
2. $\displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1)$
3. $\displaystyle x\ne -2$ 이므로 $\displaystyle x+2$ 로 약분하면 $\displaystyle x-1$
4.따라서 극한값은 $\displaystyle -2-1=-3$

채점 포인트

1	분자가 $\displaystyle 0$ 이 됨을 확인한 경우	3
2	인수분해한 경우	3
3	약분한 뒤 대입한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle -3$	1
계		10

실전 조언 · $\displaystyle x^2+x-2$ 의 인수는 $\displaystyle (x+2)(x-1)$ 이다. 부호를 바꿔 쓰면 약분이 안 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 9번

5번10점수학Ⅱ · 도함수

함수 $\displaystyle f(x)=x^3+2x^2-4x$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle f'(x)=0$ 의 두 근의 곱을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

해설

1. $\displaystyle f'(x)=3x^2+4x-4$
2. $\displaystyle f'(x)=0$ 은 이차방정식 $\displaystyle 3x^2+4x-4=0$ 이다.
3.판별식을 확인하면 $\displaystyle D=16+48=64>0$ 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
4.근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 $\displaystyle \dfrac{-4}{3}=-\dfrac{4}{3}$

채점 포인트

1	$\displaystyle f'(x)=3x^2+4x-4$ 를 구한 경우	3
2	두 실근을 가짐을 확인한 경우	3
3	근과 계수의 관계를 적용한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle -\dfrac{4}{3}$	1
계		10

실전 조언 · 근을 직접 구하지 않아도 된다. $\displaystyle 3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2)$ 이므로 근은 $\displaystyle \dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle -2$ 이고 곱이 $\displaystyle -\dfrac{4}{3}$ 으로 맞다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 14번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle 2$

해설

1. $\displaystyle 3x^2-4x+1$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle x^3-2x^2+x$ 이다.
2. $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3x^2-4x+1)\,dx=\left[x^3-2x^2+x\right]_0^2$
3. $\displaystyle =(8-8+2)-0$
4. $\displaystyle =2$

채점 포인트

1	부정적분을 구한 경우	3
2	대괄호 표기로 정적분을 나타낸 경우	3
3	위끝·아래끝을 대입해 계산한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle 2$	1
계		10

실전 조언 · 아래끝이 $\displaystyle 0$ 이라 대입하면 $\displaystyle 0$ 이다. 위끝만 정확히 계산하면 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 9번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

두 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 과 $\displaystyle y=2-x^2$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{8}{3}$

해설

1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2=2-x^2$ 에서 $\displaystyle 2x^2=2$ , $\displaystyle x^2=1$ 이므로 $\displaystyle x=-1$ 또는 $\displaystyle x=1$
2. $\displaystyle -1<x<1$ 에서 $\displaystyle (2-x^2)-x^2=2-2x^2=2(1-x^2)>0$ 이므로 $\displaystyle y=2-x^2$ 이 위에 있다.
3.넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx$ 이고 피적분함수가 우함수이므로 $\displaystyle 2\displaystyle\int_0^1(2-2x^2)\,dx$
4. $\displaystyle =2\left[2x-\dfrac{2}{3}x^3\right]_0^1=2\left(2-\dfrac{2}{3}\right)=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$

채점 포인트

1	교점 $\displaystyle x=\pm 1$ 을 구한 경우	3
2	구간에서 어느 곡선이 위인지 판정한 경우	3
3	정적분을 계산한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle \dfrac{8}{3}$	1
계		10

실전 조언 · 차 함수의 이차항 계수가 $\displaystyle -2$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{2\times 8}{6}=\dfrac{8}{3}$ 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 15번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 거리

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t\ge 0)$ 에서의 속도가 $\displaystyle v(t)=4-2t$ 이다. 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 $\displaystyle t=4$ 까지 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 움직인 거리를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle 8$

해설

1.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4|v(t)|\,dt$ 이므로 부호가 바뀌는 시각을 먼저 찾는다.
2. $\displaystyle 4-2t=0$ 에서 $\displaystyle t=2$ 이고, $\displaystyle 0\le t<2$ 에서 $\displaystyle v>0$ , $\displaystyle 2<t\le 4$ 에서 $\displaystyle v<0$ 이다.
3. $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(4-2t)\,dt=\left[4t-t^2\right]_0^2=8-4=4$
4. $\displaystyle \displaystyle\int_2^4(2t-4)\,dt=\left[t^2-4t\right]_2^4=(16-16)-(4-8)=0+4=4$
5.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 4+4=8$

채점 포인트

1	움직인 거리가 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4\|v\|\,dt$ 임을 밝힌 경우	2
2	$\displaystyle t=2$ 를 찾아 부호를 조사한 경우	3
3	두 구간의 정적분을 각각 계산한 경우	4
4	최종 답 $\displaystyle 8$	1
계		10

실전 조언 · 위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v\,dt=0$ 이다. 출발점으로 돌아왔지만 움직인 거리는 $\displaystyle 8$ — 두 값을 구분한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 23번

🌱 가천대 예상 논술 9회

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