🌱 가천대 예상 논술 8회

해설

1. 1.밑변환공식에 의하여 $\displaystyle \log_4 9=\dfrac{\log_3 9}{\log_3 4}$
2. 2.따라서 주어진 식은 $\displaystyle \log_3 4\times\dfrac{\log_3 9}{\log_3 4}$
3. 3.$\displaystyle \log_3 4$ 가 약분되어 $\displaystyle \log_3 9$ 만 남는다.
4. 4.$\displaystyle 9=3^2$ 이므로 $\displaystyle \log_3 9=2$

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해설

1. 1.$\displaystyle 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ 이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$ , 즉 $\displaystyle \cos^2\theta=\dfrac{4}{5}$
2. 2.제2사분면에서는 $\displaystyle \cos\theta<0$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
3. 3.$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta=\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
4. 4.분모를 유리화하면 $\displaystyle \sin\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

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해설

1. 1.시그마의 성질에 의하여 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}(a_k+k)=\sum\limits_{k=1}^{10}a_k+\sum\limits_{k=1}^{10}k$
2. 2.$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}k=\dfrac{10\times 11}{2}=55$
3. 3.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k+55=100$
4. 4.즉 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k=100-55=45$

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해설

1. 1.$\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 연속만 따지면 된다.
2. 2.연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)=a$ 이어야 한다.
3. 3.$\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$ 이고 $\displaystyle x\ne 1$ 이므로 약분하면 $\displaystyle f(x)=x+1$
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2$ 이므로 $\displaystyle a=2$

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해설

1. 1.$\displaystyle f'(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$
2. 2.모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle (x-1)^2\ge 0$ 이므로 $\displaystyle f'(x)\ge 0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle f'(x)=0$ 이 되는 점은 $\displaystyle x=1$ 뿐이고, 그 좌우에서 $\displaystyle f'$ 의 부호가 바뀌지 않는다(양쪽 모두 양수).
4. 4.극값은 도함수의 부호가 바뀌는 점에서만 생기므로, 이 함수는 극값을 갖지 않는다.

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해설

1. 1.절댓값 안쪽이 $\displaystyle 0$ 이 되는 $\displaystyle x=2$ 를 경계로 구간을 나눈다.
2. 2.$\displaystyle 0\le x<2$ 에서 $\displaystyle x-2<0$ 이므로 $\displaystyle |x-2|=2-x$ 이고, $\displaystyle 2<x\le 3$ 에서 $\displaystyle |x-2|=x-2$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(2-x)\,dx=\left[2x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=4-2=2$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_2^3(x-2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-2x\right]_2^3=\left(\dfrac{9}{2}-6\right)-(2-4)=-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}$
5. 5.따라서 값은 $\displaystyle 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

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해설

1. 1.교점을 구하면 $\displaystyle x^2+1=2x+1$ 에서 $\displaystyle x^2-2x=0$ , $\displaystyle x(x-2)=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. 2.$\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle (2x+1)-(x^2+1)=2x-x^2=x(2-x)>0$ 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2$
4. 4.$\displaystyle =4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{12-8}{3}=\dfrac{4}{3}$

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해설

1. 1.운동 방향이 바뀌는 것은 속도의 부호가 바뀔 때이다. $\displaystyle -3t^2+12=0$ 에서 $\displaystyle t^2=4$ 이고 $\displaystyle t\ge 0$ 이므로 $\displaystyle t=2$
2. 2.$\displaystyle 0\le t<2$ 에서 $\displaystyle v(t)>0$ , $\displaystyle t>2$ 에서 $\displaystyle v(t)<0$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 에서 처음으로 방향이 바뀐다.
3. 3.구간 $\displaystyle 0\le t\le 2$ 에서는 속도가 양수이므로 움직인 거리는 위치의 변화량과 같다.
4. 4.따라서 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(-3t^2+12)\,dt=\left[-t^3+12t\right]_0^2=-8+24=16$

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