가천대 예상 논술 10회 · 태랑이 대학가기

1번10점수학Ⅰ · 로그방정식

방정식 $\displaystyle \log_2(x-1)=3$ 의 해를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle x=9$

해설

1.로그가 정의되려면 진수가 양수여야 하므로 $\displaystyle x-1>0$ , 즉 $\displaystyle x>1$
2.로그의 정의에 의하여 $\displaystyle x-1=2^3=8$
3.따라서 $\displaystyle x=9$
4. $\displaystyle 9>1$ 이므로 진수 조건을 만족시킨다.

채점 포인트

1	진수 조건 $\displaystyle x>1$ 을 밝힌 경우	3
2	로그의 정의로 $\displaystyle x-1=8$ 을 세운 경우	3
3	$\displaystyle x=9$ 를 구한 경우	3
4	진수 조건을 만족시킴을 확인한 경우	1
계		10

실전 조언 · 진수 조건을 확인하는 줄이 앞뒤로 두 번 들어간다. 조건을 쓰고, 답이 그 조건에 맞는지 확인한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 21번

2번10점수학Ⅰ · 지수방정식

방정식 $\displaystyle 2^{x+1}+2^{x}=12$ 의 해를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle x=2$

해설

1. $\displaystyle 2^{x+1}=2\times 2^{x}$ 이므로 좌변은 $\displaystyle 2\times 2^{x}+2^{x}=3\times 2^{x}$
2.따라서 $\displaystyle 3\times 2^{x}=12$ , 즉 $\displaystyle 2^{x}=4$
3. $\displaystyle 4=2^2$ 이고 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle x=2$

채점 포인트

1	$\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x$ 로 고쳐 공통인수로 묶은 경우	4
2	$\displaystyle 2^x=4$ 를 얻은 경우	3
3	밑을 맞춰 $\displaystyle x=2$ 를 구한 경우	2
4	최종 답 $\displaystyle x=2$	1
계		10

실전 조언 · $\displaystyle 2^x$ 를 공통인수로 묶는 첫 줄이 4점이다. 치환해서 $\displaystyle t=2^x$ 로 둬도 같다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 26번

3번10점수학Ⅰ · 등차수열의 합

첫째항이 $\displaystyle 1$ 인 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle 10$ 항까지의 합이 $\displaystyle 100$ 일 때, 공차 $\displaystyle d$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle d=2$

해설

1.등차수열의 합 공식은 $\displaystyle S_n=\dfrac{n\left\{2a_1+(n-1)d\right\}}{2}$ 이다.
2. $\displaystyle a_1=1$ , $\displaystyle n=10$ 이므로 $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10(2+9d)}{2}=5(2+9d)$
3. $\displaystyle 5(2+9d)=100$ 에서 $\displaystyle 2+9d=20$
4.따라서 $\displaystyle 9d=18$ , 즉 $\displaystyle d=2$

채점 포인트

1	합 공식을 정확히 쓴 경우	3
2	$\displaystyle 5(2+9d)=100$ 을 세운 경우	3
3	방정식을 푼 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle d=2$	1
계		10

실전 조언 · 검산하면 $\displaystyle a_{10}=1+18=19$ 이고 $\displaystyle S_{10}=\dfrac{10(1+19)}{2}=100$ 으로 맞다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 28번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{1}{4}$

해설

1. $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 분자를 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x+3}+2$ 를 곱하면
2.분자는 $\displaystyle (x+3)-4=x-1$ 이 되므로 식은 $\displaystyle \dfrac{x-1}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}$
3. $\displaystyle x\ne 1$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$
4.따라서 극한값은 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$

채점 포인트

1	$\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴임을 밝힌 경우	2
2	분자를 유리화한 경우	4
3	약분한 뒤 대입한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$	1
계		10

실전 조언 · 분자를 유리화하면 분자가 $\displaystyle x-1$ 이 되어 분모와 약분된다. 이 구조를 노린 문제다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 11번

5번10점수학Ⅱ · 접선의 방정식

곡선 $\displaystyle y=x^3+x$ 위의 점 $\displaystyle (1,\,2)$ 에서의 접선과 수직인 직선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$

해설

1.점 $\displaystyle (1,\,2)$ 가 곡선 위에 있는지 확인하면 $\displaystyle 1+1=2$ 로 맞다.
2. $\displaystyle y'=3x^2+1$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 3+1=4$
3.두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 $\displaystyle -1$ 이다.
4.따라서 구하는 기울기를 $\displaystyle m$ 이라 하면 $\displaystyle 4m=-1$ 에서 $\displaystyle m=-\dfrac{1}{4}$

채점 포인트

1	접선의 기울기 $\displaystyle 4$ 를 구한 경우	3
2	수직 조건(기울기의 곱이 $\displaystyle -1$ )을 밝힌 경우	3
3	$\displaystyle m=-\dfrac{1}{4}$ 을 구한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$	1
계		10

실전 조언 · 수직인 직선의 기울기는 "음의 역수"다. 부호를 빼먹고 $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ 로 답하는 실수가 흔하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 11번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

$\displaystyle \displaystyle\int_1^3(2x-4)\,dx$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle 0$

해설

1. $\displaystyle 2x-4$ 의 부정적분 중 하나는 $\displaystyle x^2-4x$ 이다.
2. $\displaystyle \displaystyle\int_1^3(2x-4)\,dx=\left[x^2-4x\right]_1^3$
3. $\displaystyle =(9-12)-(1-4)=-3-(-3)$
4. $\displaystyle =0$

채점 포인트

1	부정적분을 구한 경우	3
2	위끝·아래끝을 대입한 경우	3
3	부호를 정확히 처리한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle 0$	1
계		10

실전 조언 · $\displaystyle y=2x-4$ 는 점 $\displaystyle (2,\,0)$ 에 대하여 대칭이고 구간도 그 점에 대칭이라, 값이 $\displaystyle 0$ 이 되는 게 자연스럽다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 7번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

곡선 $\displaystyle y=x^2-3x+2$ 와 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{1}{6}$

해설

1. $\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=2$
2. $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle (x-1)(x-2)<0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래에 있다.
3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left\{-(x^2-3x+2)\right\}dx=\displaystyle\int_1^2(-x^2+3x-2)\,dx$
4. $\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2}x^2-2x\right]_1^2=\left(-\dfrac{8}{3}+6-4\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-2\right)=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{6}$

채점 포인트

1	교점 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=2$ 를 구한 경우	3
2	곡선이 $\displaystyle x$ 축 아래임을 밝히고 부호를 뒤집은 경우	3
3	정적분을 계산한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle \dfrac{1}{6}$	1
계		10

실전 조언 · $\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{1\times 1}{6}=\dfrac{1}{6}$ 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 9번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 위치

수직선 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 시각 $\displaystyle t\,(t\ge 0)$ 에서의 속도가 $\displaystyle v(t)=3t^2-3$ 이고, 시각 $\displaystyle t=0$ 에서의 위치가 $\displaystyle 1$ 이다. 시각 $\displaystyle t=2$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 위치를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · $\displaystyle 3$

해설

1.시각 $\displaystyle t=2$ 에서의 위치는 (처음 위치) $\displaystyle +$ (위치의 변화량)이다.
2.위치의 변화량은 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(3t^2-3)\,dt=\left[t^3-3t\right]_0^2$
3. $\displaystyle =(8-6)-0=2$
4.따라서 $\displaystyle t=2$ 에서의 위치는 $\displaystyle 1+2=3$

채점 포인트

1	위치 $\displaystyle =$ 처음 위치 $\displaystyle +\displaystyle\int_0^2 v\,dt$ 임을 밝힌 경우	3
2	부정적분 $\displaystyle t^3-3t$ 를 구한 경우	3
3	대입해 위치의 변화량 $\displaystyle 2$ 를 구한 경우	3
4	최종 답 $\displaystyle 3$	1
계		10

실전 조언 · 위치를 물었으므로 절댓값을 씌우지 않는다. 도중에 $\displaystyle v$ 의 부호가 바뀌어도(여기서는 $\displaystyle t=1$ ) 상관없다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 25번

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