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🌱 가천대 예상 논술 7회

스마트팩토리학과

문항

8문항

배점

80점

시간

80분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · 수학은 중간식에 큰 부분점수가 걸려 있다. 어떤 문항은 변형식만 써도 4점, 정리한 식에 6점인데 최종 답은 1점이었다
  • · 배점이 0.5점 단위로 쪼개지고 동치 표현을 인정한다

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1번10점수학Ⅰ · 로그

log⁡22+log⁡28−log⁡214\displaystyle \log_2\sqrt{2}+\log_2 8-\log_2\dfrac{1}{4} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 112\displaystyle \dfrac{11}{2}

해설

  1. 1.2=212\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} 이므로 log⁡22=12\displaystyle \log_2\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}
  2. 2.8=23\displaystyle 8=2^3 이므로 log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3
  3. 3.14=2−2\displaystyle \dfrac{1}{4}=2^{-2} 이므로 log⁡214=−2\displaystyle \log_2\dfrac{1}{4}=-2
  4. 4.따라서 12+3−(−2)=12+5=112\displaystyle \dfrac{1}{2}+3-(-2)=\dfrac{1}{2}+5=\dfrac{11}{2}

채점 포인트

1세 로그값을 각각 구한 경우3
2마지막 항의 부호를 정확히 처리한 경우3
3통분해 더한 경우3
4최종 답 112\displaystyle \dfrac{11}{2}1
계10

실전 조언 · 마지막이 뺄셈인데 값이 음수라 두 번 뒤집힌다. −(−2)=+2\displaystyle -(-2)=+2 를 한 줄로 분리해 쓰면 실수가 없다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 15번

2번10점수학Ⅰ · 삼각함수

0<θ<π2\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2} 이고 sin⁡θ=45\displaystyle \sin\theta=\dfrac{4}{5} 일 때, tan⁡θ\displaystyle \tan\theta 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 43\displaystyle \dfrac{4}{3}

해설

  1. 1.0<θ<π2\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2} 는 제1사분면의 각이므로 cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0 이다.
  2. 2.sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 에서 cos⁡2θ=1−1625=925\displaystyle \cos^2\theta=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}
  3. 3.cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0 이므로 cos⁡θ=35\displaystyle \cos\theta=\dfrac{3}{5}
  4. 4.따라서 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=4/53/5=43\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{4/5}{3/5}=\dfrac{4}{3}

채점 포인트

1제1사분면이므로 cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0 임을 밝힌 경우3
2cos⁡θ=35\displaystyle \cos\theta=\dfrac{3}{5} 를 구한 경우3
3tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 로 계산한 경우3
4최종 답 43\displaystyle \dfrac{4}{3}1
계10

실전 조언 · 3:4:5\displaystyle 3:4:5 직각삼각형이다. 세 변의 비를 알면 부호만 정하고 바로 답할 수 있다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 6번

3번10점수학Ⅰ · 등비수열의 합

일반항이 an=2n\displaystyle a_n=2^n 인 수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에 대하여 ∑k=18ak\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{8}a_k 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 510\displaystyle 510

해설

  1. 1.an=2n\displaystyle a_n=2^n 이므로 {an}\displaystyle \{a_n\} 은 첫째항이 a1=2\displaystyle a_1=2 , 공비가 2\displaystyle 2 인 등비수열이다.
  2. 2.등비수열의 합 공식 Sn=a(rn−1)r−1\displaystyle S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} 에 a=2\displaystyle a=2 , r=2\displaystyle r=2 , n=8\displaystyle n=8 을 대입한다.
  3. 3.S8=2(28−1)2−1=2(256−1)\displaystyle S_8=\dfrac{2(2^8-1)}{2-1}=2(256-1)
  4. 4.=2×255=510\displaystyle =2\times 255=510

채점 포인트

1첫째항 2\displaystyle 2 , 공비 2\displaystyle 2 인 등비수열임을 밝힌 경우3
2합 공식을 정확히 쓴 경우3
328=256\displaystyle 2^8=256 을 대입해 계산한 경우3
4최종 답 510\displaystyle 5101
계10

실전 조언 · 2+4+⋯+2n=2n+1−2\displaystyle 2+4+\cdots+2^n=2^{n+1}-2 로 외워도 된다. 29−2=512−2=510\displaystyle 2^9-2=512-2=510 으로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 25번

4번10점수학Ⅱ · 도함수의 활용

함수 f(x)=x4−4x\displaystyle f(x)=x^4-4x 의 극솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · −3\displaystyle -3

해설

  1. 1.f′(x)=4x3−4=4(x3−1)=4(x−1)(x2+x+1)\displaystyle f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1)
  2. 2.x2+x+1=(x+12)2+34>0\displaystyle x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0 이므로 f′\displaystyle f' 의 부호는 x−1\displaystyle x-1 의 부호만으로 정해진다.
  3. 3.따라서 x<1\displaystyle x<1 에서 f′<0\displaystyle f'<0 , x>1\displaystyle x>1 에서 f′>0\displaystyle f'>0 이므로 x=1\displaystyle x=1 에서 극소이다.
  4. 4.극솟값은 f(1)=1−4=−3\displaystyle f(1)=1-4=-3

채점 포인트

1f′(x)=4(x−1)(x2+x+1)\displaystyle f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1) 로 인수분해한 경우3
2x2+x+1>0\displaystyle x^2+x+1>0 임을 밝힌 경우3
3x=1\displaystyle x=1 에서 극소임을 판정한 경우3
4최종 답 −3\displaystyle -31
계10

실전 조언 · 남은 이차식이 항상 양수임을 보이는 줄이 3점이다. "판별식이 음수"라고 써도 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 05. 도함수의 활용(2) 17번

5번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

lim⁡x→04+x−2x\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{x} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 14\displaystyle \dfrac{1}{4}

해설

  1. 1.00\displaystyle \dfrac{0}{0} 꼴이므로 분자를 유리화한다. 분모와 분자에 4+x+2\displaystyle \sqrt{4+x}+2 를 곱하면
  2. 2.분자는 (4+x)−4=x\displaystyle (4+x)-4=x 가 되므로 식은 xx(4+x+2)\displaystyle \dfrac{x}{x\left(\sqrt{4+x}+2\right)}
  3. 3.x≠0\displaystyle x\ne 0 이므로 약분하면 14+x+2\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{4+x}+2}
  4. 4.따라서 극한값은 14+2=12+2=14\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}

채점 포인트

100\displaystyle \dfrac{0}{0} 꼴임을 밝힌 경우2
2분자를 유리화한 경우4
3약분한 뒤 대입한 경우3
4최종 답 14\displaystyle \dfrac{1}{4}1
계10

실전 조언 · a+x−a\displaystyle \sqrt{a+x}-\sqrt{a} 꼴의 극한은 12a\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{a}} 이다. 12×2=14\displaystyle \dfrac{1}{2\times 2}=\dfrac{1}{4} 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 15번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

∫−22(x3+4) dx\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+4)\,dx 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 16\displaystyle 16

해설

  1. 1.적분 구간이 원점에 대하여 대칭이다.
  2. 2.x3\displaystyle x^3 은 기함수이므로 ∫−22x3 dx=0\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx=0
  3. 3.4\displaystyle 4 는 상수(우함수)이므로 ∫−224 dx=2∫024 dx=2×8=16\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}4\,dx=2\displaystyle\int_0^2 4\,dx=2\times 8=16
  4. 4.따라서 값은 0+16=16\displaystyle 0+16=16

채점 포인트

1구간의 대칭성을 밝힌 경우3
2기함수의 정적분이 0\displaystyle 0 임을 밝힌 경우3
3상수 부분을 계산한 경우3
4최종 답 16\displaystyle 161
계10

실전 조언 · 상수 4\displaystyle 4 의 정적분은 밑변 4\displaystyle 4 , 높이 4\displaystyle 4 인 직사각형의 넓이와 같다. 4×4=16\displaystyle 4\times 4=16 으로도 바로 나온다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 14번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

곡선 y=x2−6x+5\displaystyle y=x^2-6x+5 와 x\displaystyle x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 323\displaystyle \dfrac{32}{3}

해설

  1. 1.x2−6x+5=(x−1)(x−5)=0\displaystyle x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0 에서 x=1\displaystyle x=1 또는 x=5\displaystyle x=5
  2. 2.1<x<5\displaystyle 1<x<5 에서 (x−1)(x−5)<0\displaystyle (x-1)(x-5)<0 이므로 곡선이 x\displaystyle x 축 아래에 있다.
  3. 3.따라서 넓이는 ∫15{−(x2−6x+5)} dx=∫15(−x2+6x−5) dx\displaystyle \displaystyle\int_1^5\{-(x^2-6x+5)\}\,dx=\displaystyle\int_1^5(-x^2+6x-5)\,dx
  4. 4.=[−x33+3x2−5x]15=(−1253+75−25)−(−13+3−5)=253−(−73)=323\displaystyle =\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2-5x\right]_1^5=\left(-\dfrac{125}{3}+75-25\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+3-5\right)=\dfrac{25}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{32}{3}

채점 포인트

1교점 x=1\displaystyle x=1 , x=5\displaystyle x=5 를 구한 경우3
2곡선이 x\displaystyle x 축 아래임을 밝히고 부호를 뒤집은 경우3
3정적분을 계산한 경우3
4최종 답 323\displaystyle \dfrac{32}{3}1
계10

실전 조언 · ∣a∣(β−α)36=1×436=323\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{1\times 4^3}{6}=\dfrac{32}{3} 로 검산된다. 분수 계산이 길므로 공식 검산이 특히 유용하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 11번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 위치

수직선 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 시각 t (t≥0)\displaystyle t\,(t\ge 0) 에서의 속도가 v(t)=2t−6\displaystyle v(t)=2t-6 이고, 시각 t=0\displaystyle t=0 에서의 위치가 1\displaystyle 1 이다. 시각 t=5\displaystyle t=5 에서 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 위치를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · −4\displaystyle -4

해설

  1. 1.시각 t=5\displaystyle t=5 에서의 위치는 (처음 위치) +\displaystyle + (위치의 변화량)이다.
  2. 2.위치의 변화량은 ∫05(2t−6) dt=[t2−6t]05\displaystyle \displaystyle\int_0^5(2t-6)\,dt=\left[t^2-6t\right]_0^5
  3. 3.=(25−30)−0=−5\displaystyle =(25-30)-0=-5
  4. 4.따라서 t=5\displaystyle t=5 에서의 위치는 1+(−5)=−4\displaystyle 1+(-5)=-4

채점 포인트

1위치 =\displaystyle = 처음 위치 +∫05v dt\displaystyle +\displaystyle\int_0^5 v\,dt 임을 밝힌 경우3
2정적분을 계산해 −5\displaystyle -5 를 구한 경우3
3처음 위치를 더한 경우3
4최종 답 −4\displaystyle -41
계10

실전 조언 · 위치의 변화량이 음수면 왼쪽으로 이동한 것이다. 절댓값을 씌우면 "움직인 거리"가 되어 다른 값이 나온다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 26번