🌱 가천대 예상 논술 6회

해설

1. 1.$\displaystyle 9=3^2$ 이므로 $\displaystyle 9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$
2. 2.$\displaystyle 3^x=2$ 이므로 $\displaystyle 9^x=2^2=4$
3. 3.$\displaystyle 3^{-x}=\dfrac{1}{3^x}=\dfrac{1}{2}$
4. 4.따라서 $\displaystyle 9^x+3^{-x}=4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$

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해설

1. 1.$\displaystyle 12=4\times 3=2^2\times 3$ 이다.
2. 2.로그의 성질에 의하여 $\displaystyle \log 12=\log 2^2+\log 3$
3. 3.$\displaystyle \log 2^2=2\log 2=2a$ 이고 $\displaystyle \log 3=b$ 이다.
4. 4.따라서 $\displaystyle \log 12=2a+b$

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해설

1. 1.시그마의 성질에 의하여 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(a_k+2)=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k+\sum\limits_{k=1}^{n}2=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k+2n$
2. 2.따라서 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k+2n=n^2+3n$
3. 3.정리하면 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_k=n^2+3n-2n=n^2+n$
4. 4.$\displaystyle n=10$ 을 대입하면 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{10}a_k=100+10=110$

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해설

1. 1.$\displaystyle \dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 분자를 유리화한다. 분모와 분자에 $\displaystyle \sqrt{x+2}+2$ 를 곱하면
2. 2.분자는 $\displaystyle (x+2)-4=x-2$ 가 되므로 식은 $\displaystyle \dfrac{x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}$
3. 3.$\displaystyle x\ne 2$ 이므로 약분하면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}$
4. 4.따라서 극한값은 $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}$

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해설

1. 1.$\displaystyle x$ 축과 평행한 직선은 기울기가 $\displaystyle 0$ 이므로 접점에서 $\displaystyle y'=0$ 이어야 한다.
2. 2.$\displaystyle y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=-1$
3. 3.$\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle y=1-3=-2$ 이므로 접선은 $\displaystyle y=-2$ 이고, $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle -2$ 이다.
4. 4.$\displaystyle x=-1$ 일 때 $\displaystyle y=-1+3=2$ 이므로 접선은 $\displaystyle y=2$ 이고, $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle 2$ 이다.
5. 5.따라서 두 $\displaystyle y$ 절편의 합은 $\displaystyle -2+2=0$

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해설

1. 1.피적분함수가 같고 한 정적분의 위끝이 다른 정적분의 아래끝과 같으므로, 두 정적분을 하나로 이어붙일 수 있다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx+\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx=\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$
3. 3.따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x^2+2x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{8}{3}+4=\dfrac{8+12}{3}=\dfrac{20}{3}$

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해설

1. 1.$\displaystyle 2x-x^2=x(2-x)=0$ 에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이므로 곡선과 $\displaystyle x$ 축은 두 점에서 만난다.
2. 2.$\displaystyle 0<x<2$ 에서 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle 2-x>0$ 이므로 $\displaystyle 2x-x^2>0$ , 즉 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2$
4. 4.$\displaystyle =4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{12-8}{3}=\dfrac{4}{3}$

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해설

1. 1.움직인 거리는 $\displaystyle \displaystyle\int_0^3|v(t)|\,dt$ 이므로 부호가 바뀌는 시각을 먼저 찾는다.
2. 2.$\displaystyle 3t^2-12=0$ 에서 $\displaystyle t^2=4$ , $\displaystyle t\ge 0$ 이므로 $\displaystyle t=2$ 이고, $\displaystyle 0\le t<2$ 에서 $\displaystyle v<0$ , $\displaystyle 2<t\le 3$ 에서 $\displaystyle v>0$ 이다.
3. 3.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(12-3t^2)\,dt=\left[12t-t^3\right]_0^2=24-8=16$
4. 4.$\displaystyle \displaystyle\int_2^3(3t^2-12)\,dt=\left[t^3-12t\right]_2^3=(27-36)-(8-24)=-9+16=7$
5. 5.따라서 움직인 거리는 $\displaystyle 16+7=23$

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