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🌱 가천대 예상 논술 5회

스마트팩토리학과

문항

8문항

배점

80점

시간

80분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · 수학은 중간식에 큰 부분점수가 걸려 있다. 어떤 문항은 변형식만 써도 4점, 정리한 식에 6점인데 최종 답은 1점이었다
  • · 배점이 0.5점 단위로 쪼개지고 동치 표현을 인정한다

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1번10점수학Ⅰ · 로그방정식

방정식 log⁡5(x+1)+log⁡5(x−3)=1\displaystyle \log_5(x+1)+\log_5(x-3)=1 의 해를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · x=4\displaystyle x=4

해설

  1. 1.로그가 정의되려면 x+1>0\displaystyle x+1>0 이고 x−3>0\displaystyle x-3>0 이어야 하므로 x>3\displaystyle x>3 ⋯\displaystyle \cdots ㉠
  2. 2.로그의 합을 하나로 묶으면 log⁡5{(x+1)(x−3)}=1\displaystyle \log_5\{(x+1)(x-3)\}=1
  3. 3.로그의 정의에 의하여 (x+1)(x−3)=51=5\displaystyle (x+1)(x-3)=5^1=5 , 즉 x2−2x−3=5\displaystyle x^2-2x-3=5 , x2−2x−8=0\displaystyle x^2-2x-8=0
  4. 4.(x−4)(x+2)=0\displaystyle (x-4)(x+2)=0 에서 x=4\displaystyle x=4 또는 x=−2\displaystyle x=-2
  5. 5.㉠에 의하여 x=−2\displaystyle x=-2 는 버리고, 해는 x=4\displaystyle x=4 이다.

채점 포인트

1진수 조건 x>3\displaystyle x>3 을 구한 경우2
2로그의 합을 묶어 (x+1)(x−3)=5\displaystyle (x+1)(x-3)=5 를 세운 경우3
3x2−2x−8=0\displaystyle x^2-2x-8=0 을 푼 경우2
4진수 조건으로 x=−2\displaystyle x=-2 를 버린 경우2
5최종 답 x=4\displaystyle x=41
계10

실전 조언 · 진수 조건은 x>−1\displaystyle x>-1 과 x>3\displaystyle x>3 의 공통 범위인 x>3\displaystyle x>3 이다. 둘 중 강한 쪽을 택하는 것이 요령이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 24번

2번10점수학Ⅰ · 코사인법칙

삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC} 에서 BC‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=4 , CA‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=5 , ∠C=π3\displaystyle \angle\mathrm{C}=\dfrac{\pi}{3} 일 때, AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} 의 길이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 21\displaystyle \sqrt{21}

해설

  1. 1.각 C\displaystyle \mathrm{C} 를 끼고 있는 두 변이 BC‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=4 , CA‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=5 이고 마주 보는 변이 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} 이다.
  2. 2.코사인법칙에 의하여 AB‾2=BC‾2+CA‾2−2⋅BC‾⋅CA‾cos⁡C\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2-2\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cdot\overline{\mathrm{CA}}\cos C
  3. 3.=16+25−2×4×5×cos⁡π3=41−40×12=41−20=21\displaystyle =16+25-2\times 4\times 5\times\cos\dfrac{\pi}{3}=41-40\times\dfrac{1}{2}=41-20=21
  4. 4.길이는 양수이므로 AB‾=21\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{21}

채점 포인트

1각 C\displaystyle \mathrm{C} 에 대한 코사인법칙을 올바르게 세운 경우3
2cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} 를 대입한 경우3
3AB‾2=21\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=21 을 구한 경우3
4최종 답 21\displaystyle \sqrt{21}1
계10

실전 조언 · 각 C\displaystyle \mathrm{C} 의 맞은편은 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} 다. 어느 변이 마주 보는지 그림으로 확인하고 시작한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙 12번

3번10점수학Ⅰ · 등비수열

공비가 양수인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 이 a1=2\displaystyle a_1=2 , a3=18\displaystyle a_3=18 을 만족시킬 때, a5\displaystyle a_5 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 162\displaystyle 162

해설

  1. 1.공비를 r\displaystyle r 라 하면 a3=a1r2\displaystyle a_3=a_1r^2 이므로 18=2r2\displaystyle 18=2r^2 , 즉 r2=9\displaystyle r^2=9
  2. 2.공비가 양수이므로 r=3\displaystyle r=3
  3. 3.a5=a3r2=18×9=162\displaystyle a_5=a_3r^2=18\times 9=162

채점 포인트

1a3=a1r2\displaystyle a_3=a_1r^2 을 세운 경우3
2r2=9\displaystyle r^2=9 를 구한 경우3
3공비가 양수라는 조건으로 r=3\displaystyle r=3 을 확정한 경우3
4최종 답 162\displaystyle 1621
계10

실전 조언 · a5=a1r4=2×81=162\displaystyle a_5=a_1r^4=2\times 81=162 로도 같다. 두 경로가 일치하는지 확인하면 검산이 된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 18번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 연속

함수 f(x)={3x+a(x<2)x2−1(x≥2)\displaystyle f(x)=\begin{cases}3x+a & (x<2)\\ x^2-1 & (x\ge 2)\end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 a\displaystyle a 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · −3\displaystyle -3

해설

  1. 1.x<2\displaystyle x<2 와 x>2\displaystyle x>2 에서는 각각 다항함수이므로 연속이다. 따라서 x=2\displaystyle x=2 에서의 연속만 따지면 된다.
  2. 2.x=2\displaystyle x=2 에서 연속이려면 lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\displaystyle \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2+}f(x)=f(2) 이어야 한다.
  3. 3.lim⁡x→2−f(x)=3×2+a=6+a\displaystyle \lim\limits_{x\to 2-}f(x)=3\times 2+a=6+a 이고, f(2)=22−1=3\displaystyle f(2)=2^2-1=3
  4. 4.따라서 6+a=3\displaystyle 6+a=3 이므로 a=−3\displaystyle a=-3

채점 포인트

1연속을 따질 지점이 x=2\displaystyle x=2 뿐임을 밝힌 경우2
2좌극한 6+a\displaystyle 6+a 를 구한 경우3
3f(2)=3\displaystyle f(2)=3 을 구한 경우3
4최종 답 −3\displaystyle -32
계10

실전 조언 · 좌극한은 x<2\displaystyle x<2 쪽 식, 함숫값은 x≥2\displaystyle x\ge 2 쪽 식에서 나온다. 어느 식을 쓸지 헷갈리면 부등호를 다시 본다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 02. 함수의 연속 6번

5번10점수학Ⅱ · 도함수

함수 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 에 대하여 f′(1)\displaystyle f'(1) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 2\displaystyle 2

해설

  1. 1.f(x)=(x−1)g(x)\displaystyle f(x)=(x-1)g(x) 로 놓으면 g(x)=(x−2)(x−3)\displaystyle g(x)=(x-2)(x-3) 이다.
  2. 2.곱의 미분법에 의하여 f′(x)=g(x)+(x−1)g′(x)\displaystyle f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x)
  3. 3.x=1\displaystyle x=1 을 대입하면 (x−1)\displaystyle (x-1) 이 0\displaystyle 0 이 되므로 f′(1)=g(1)\displaystyle f'(1)=g(1)
  4. 4.g(1)=(1−2)(1−3)=(−1)×(−2)=2\displaystyle g(1)=(1-2)(1-3)=(-1)\times(-2)=2 이므로 f′(1)=2\displaystyle f'(1)=2

채점 포인트

1f(x)=(x−1)g(x)\displaystyle f(x)=(x-1)g(x) 로 분리한 경우3
2곱의 미분법을 적용한 경우3
3x=1\displaystyle x=1 에서 둘째 항이 사라짐을 밝힌 경우3
4최종 답 2\displaystyle 21
계10

실전 조언 · 인수분해된 함수의 근에서의 미분계수는 "나머지 인수에 그 값을 대입"이면 끝이다. 전개할 필요가 없다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 03. 미분계수와 도함수 14번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

∫02(x2−2x+1) dx\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x^2-2x+1)\,dx 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 23\displaystyle \dfrac{2}{3}

해설

  1. 1.피적분함수는 x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^2-2x+1=(x-1)^2 이다.
  2. 2.(x−1)2\displaystyle (x-1)^2 의 부정적분 중 하나는 (x−1)33\displaystyle \dfrac{(x-1)^3}{3} 이다.
  3. 3.∫02(x−1)2 dx=[(x−1)33]02=133−(−1)33\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x-1)^2\,dx=\left[\dfrac{(x-1)^3}{3}\right]_0^2=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{(-1)^3}{3}
  4. 4.=13+13=23\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}

채점 포인트

1(x−1)2\displaystyle (x-1)^2 으로 완전제곱한 경우3
2부정적분 (x−1)33\displaystyle \dfrac{(x-1)^3}{3} 을 구한 경우3
3위끝·아래끝을 대입해 계산한 경우3
4최종 답 23\displaystyle \dfrac{2}{3}1
계10

실전 조언 · 그대로 적분해도 같다. [x33−x2+x]02=83−4+2=23\displaystyle \left[\dfrac{x^3}{3}-x^2+x\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-4+2=\dfrac{2}{3} — 검산으로 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 6번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

두 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 과 y=x3\displaystyle y=x^3 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 112\displaystyle \dfrac{1}{12}

해설

  1. 1.교점을 구하면 x2=x3\displaystyle x^2=x^3 에서 x2(x−1)=0\displaystyle x^2(x-1)=0 이므로 x=0\displaystyle x=0 또는 x=1\displaystyle x=1
  2. 2.0<x<1\displaystyle 0<x<1 에서 x2−x3=x2(1−x)>0\displaystyle x^2-x^3=x^2(1-x)>0 이므로 y=x2\displaystyle y=x^2 이 위에 있다.
  3. 3.따라서 넓이는 ∫01(x2−x3) dx=[x33−x44]01\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1
  4. 4.=13−14=4−312=112\displaystyle =\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4-3}{12}=\dfrac{1}{12}

채점 포인트

1교점의 x\displaystyle x 좌표 0\displaystyle 0 , 1\displaystyle 1 을 구한 경우3
2구간에서 y=x2\displaystyle y=x^2 이 위에 있음을 판정한 경우3
3정적분을 계산한 경우3
4최종 답 112\displaystyle \dfrac{1}{12}1
계10

실전 조언 · 0<x<1\displaystyle 0<x<1 에서는 차수가 낮을수록 값이 크다. x2>x3\displaystyle x^2>x^3 을 구체적인 수(x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2})로 확인하면 확실하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 18번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 위치

수직선 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 시각 t (t≥0)\displaystyle t\,(t\ge 0) 에서의 속도가 v(t)=t2−4t+3\displaystyle v(t)=t^2-4t+3 이다. 시각 t=0\displaystyle t=0 에서 t=4\displaystyle t=4 까지 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 위치의 변화량을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 43\displaystyle \dfrac{4}{3}

해설

  1. 1.위치의 변화량은 속도를 그대로 적분한 값이므로 ∫04v(t) dt\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v(t)\,dt 이다. 절댓값을 씌우지 않는다.
  2. 2.∫04(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]04\displaystyle \displaystyle\int_0^4(t^2-4t+3)\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^4
  3. 3.=(643−32+12)−0=643−20\displaystyle =\left(\dfrac{64}{3}-32+12\right)-0=\dfrac{64}{3}-20
  4. 4.=64−603=43\displaystyle =\dfrac{64-60}{3}=\dfrac{4}{3}

채점 포인트

1위치의 변화량이 ∫04v dt\displaystyle \displaystyle\int_0^4 v\,dt 임을 밝힌 경우 (절댓값이 아님)3
2부정적분을 구한 경우3
3대입해 계산한 경우3
4최종 답 43\displaystyle \dfrac{4}{3}1
계10

실전 조언 · v(t)=(t−1)(t−3)\displaystyle v(t)=(t-1)(t-3) 이라 도중에 부호가 두 번 바뀐다. 그래도 "위치의 변화량"이면 부호를 그대로 둔다 — 구간을 나누는 건 "움직인 거리"일 때다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 27번