← 예상 문제

🌱 가천대 예상 논술 4회

스마트팩토리학과

문항

8문항

배점

80점

시간

80분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · 수학은 중간식에 큰 부분점수가 걸려 있다. 어떤 문항은 변형식만 써도 4점, 정리한 식에 6점인데 최종 답은 1점이었다
  • · 배점이 0.5점 단위로 쪼개지고 동치 표현을 인정한다

시험지 출력

실제 A4 시험지 형태로 인쇄하거나 파일로 내려받습니다.

1번10점수학Ⅰ · 로그

log⁡28+log⁡214\displaystyle \log_2\sqrt{8}+\log_2\dfrac{1}{4} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}

해설

  1. 1.8=812=(23)12=232\displaystyle \sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}=(2^3)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}} 이므로 log⁡28=32\displaystyle \log_2\sqrt{8}=\dfrac{3}{2}
  2. 2.14=2−2\displaystyle \dfrac{1}{4}=2^{-2} 이므로 log⁡214=−2\displaystyle \log_2\dfrac{1}{4}=-2
  3. 3.따라서 32+(−2)=3−42=−12\displaystyle \dfrac{3}{2}+(-2)=\dfrac{3-4}{2}=-\dfrac{1}{2}

채점 포인트

1log⁡28=32\displaystyle \log_2\sqrt{8}=\dfrac{3}{2} 를 구한 경우3
2log⁡214=−2\displaystyle \log_2\dfrac{1}{4}=-2 를 구한 경우3
3두 값을 더해 통분한 경우3
4최종 답 −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}1
계10

실전 조언 · 두 항을 하나로 묶어 log⁡2(8×14)=log⁡2224=log⁡222=log⁡22−12\displaystyle \log_2\left(\sqrt{8}\times\dfrac{1}{4}\right)=\log_2\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=\log_2\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\log_2 2^{-\frac{1}{2}} 로 풀어도 같다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 16번

2번10점수학Ⅰ · 삼각함수

tan⁡θ=34\displaystyle \tan\theta=\dfrac{3}{4} 이고 θ\displaystyle \theta 가 제3사분면의 각일 때, sin⁡θ\displaystyle \sin\theta 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · −35\displaystyle -\dfrac{3}{5}

해설

  1. 1.1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ\displaystyle 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} 이므로 1cos⁡2θ=1+916=2516\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16} , 즉 cos⁡2θ=1625\displaystyle \cos^2\theta=\dfrac{16}{25}
  2. 2.제3사분면에서는 cos⁡θ<0\displaystyle \cos\theta<0 이므로 cos⁡θ=−45\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{4}{5}
  3. 3.tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 이므로 sin⁡θ=tan⁡θ×cos⁡θ=34×(−45)\displaystyle \sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta=\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{5}\right)
  4. 4.따라서 sin⁡θ=−35\displaystyle \sin\theta=-\dfrac{3}{5}

채점 포인트

11+tan⁡2θ=1cos⁡2θ\displaystyle 1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta} 를 이용한 경우3
2제3사분면이므로 cos⁡θ<0\displaystyle \cos\theta<0 임을 밝힌 경우3
3sin⁡θ=tan⁡θcos⁡θ\displaystyle \sin\theta=\tan\theta\cos\theta 로 구한 경우3
4최종 답 −35\displaystyle -\dfrac{3}{5}1
계10

실전 조언 · 제3사분면은 sin⁡\displaystyle \sin 도 cos⁡\displaystyle \cos 도 음수다. 답의 부호를 마지막에 반드시 확인한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 11번

3번10점수학Ⅰ · 등차수열

첫째항이 −9\displaystyle -9 , 공차가 2\displaystyle 2 인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\} 에서 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인지 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 제 6\displaystyle 6 항

해설

  1. 1.일반항은 an=−9+(n−1)×2=2n−11\displaystyle a_n=-9+(n-1)\times 2=2n-11
  2. 2.an>0\displaystyle a_n>0 은 2n−11>0\displaystyle 2n-11>0 , 즉 n>112=5.5\displaystyle n>\dfrac{11}{2}=5.5
  3. 3.n\displaystyle n 은 자연수이므로 이를 만족시키는 가장 작은 n\displaystyle n 은 6\displaystyle 6 이다.
  4. 4.실제로 a5=10−11=−1<0\displaystyle a_5=10-11=-1<0 , a6=12−11=1>0\displaystyle a_6=12-11=1>0 이므로 처음으로 양수가 되는 항은 제 6\displaystyle 6 항이다.

채점 포인트

1일반항 an=2n−11\displaystyle a_n=2n-11 을 구한 경우3
2부등식 2n−11>0\displaystyle 2n-11>0 을 세운 경우3
3a5<0\displaystyle a_5<0 , a6>0\displaystyle a_6>0 으로 확인한 경우3
4최종 답 제 6\displaystyle 6 항1
계10

실전 조언 · 경계를 양쪽에서 확인하는 줄이 3점이다. n>5.5\displaystyle n>5.5 만 쓰고 끝내면 근거가 부족하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 05. 등차수열과 등비수열 14번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

lim⁡x→2x3−8x−2\displaystyle \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 12\displaystyle 12

해설

  1. 1.x→2\displaystyle x\to 2 일 때 분모와 분자가 모두 0\displaystyle 0 으로 가는 00\displaystyle \dfrac{0}{0} 꼴이다.
  2. 2.x3−8=x3−23=(x−2)(x2+2x+4)\displaystyle x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)
  3. 3.x≠2\displaystyle x\ne 2 이므로 x−2\displaystyle x-2 로 약분하면 x2+2x+4\displaystyle x^2+2x+4
  4. 4.따라서 극한값은 4+4+4=12\displaystyle 4+4+4=12

채점 포인트

100\displaystyle \dfrac{0}{0} 꼴임을 밝힌 경우2
2a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 로 인수분해한 경우4
3약분한 뒤 대입한 경우3
4최종 답 12\displaystyle 121
계10

실전 조언 · 미분계수의 정의로 봐도 된다. f(x)=x3\displaystyle f(x)=x^3 일 때 f′(2)=3×4=12\displaystyle f'(2)=3\times 4=12.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 7번

5번10점수학Ⅱ · 도함수의 활용

함수 f(x)=x3+ax+b\displaystyle f(x)=x^3+ax+b 가 x=2\displaystyle x=2 에서 극솟값 −3\displaystyle -3 을 가질 때, 두 상수 a\displaystyle a , b\displaystyle b 에 대하여 a+b\displaystyle a+b 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 1\displaystyle 1

해설

  1. 1.x=2\displaystyle x=2 에서 극값을 가지므로 f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0 이다. f′(x)=3x2+a\displaystyle f'(x)=3x^2+a 이므로 f′(2)=12+a=0\displaystyle f'(2)=12+a=0 , 즉 a=−12\displaystyle a=-12
  2. 2.극솟값이 −3\displaystyle -3 이므로 f(2)=−3\displaystyle f(2)=-3 이다. f(2)=8+2a+b=8−24+b=b−16\displaystyle f(2)=8+2a+b=8-24+b=b-16
  3. 3.b−16=−3\displaystyle b-16=-3 에서 b=13\displaystyle b=13
  4. 4.f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2) 이고 x=2\displaystyle x=2 의 좌우에서 f′\displaystyle f' 가 음에서 양으로 바뀌므로 실제로 극소가 맞다.
  5. 5.따라서 a+b=−12+13=1\displaystyle a+b=-12+13=1

채점 포인트

1f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0 에서 a=−12\displaystyle a=-12 를 구한 경우3
2f(2)=−3\displaystyle f(2)=-3 에서 b=13\displaystyle b=13 을 구한 경우3
3부호 변화로 실제 극소임을 확인한 경우3
4최종 답 1\displaystyle 11
계10

실전 조언 · "x=2\displaystyle x=2 에서 극솟값 −3\displaystyle -3" 은 조건 두 개다. f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0 과 f(2)=−3\displaystyle f(2)=-3 을 모두 써야 미지수 둘이 정해진다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 16번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

∫−12(x2−x) dx\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x)\,dx 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 32\displaystyle \dfrac{3}{2}

해설

  1. 1.x2−x\displaystyle x^2-x 의 부정적분 중 하나는 x33−x22\displaystyle \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} 이다.
  2. 2.∫−12(x2−x) dx=[x33−x22]−12\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2}
  3. 3.=(83−2)−(−13−12)=23−(−56)\displaystyle =\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{6}\right)
  4. 4.=46+56=96=32\displaystyle =\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}

채점 포인트

1부정적분을 구한 경우3
2위끝·아래끝을 대입한 경우3
3분수 계산을 정확히 한 경우3
4최종 답 32\displaystyle \dfrac{3}{2}1
계10

실전 조언 · 아래끝이 음수일 때 부호 실수가 가장 많다. (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 , (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1 을 따로 적어 두면 안전하다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 8번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

곡선 y=x2\displaystyle y=x^2 과 직선 y=9\displaystyle y=9 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 36\displaystyle 36

해설

  1. 1.교점을 구하면 x2=9\displaystyle x^2=9 에서 x=−3\displaystyle x=-3 또는 x=3\displaystyle x=3
  2. 2.−3<x<3\displaystyle -3<x<3 에서 9−x2>0\displaystyle 9-x^2>0 이므로 직선이 곡선보다 위에 있다.
  3. 3.따라서 넓이는 ∫−33(9−x2) dx\displaystyle \displaystyle\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx 이고, 피적분함수가 우함수이므로 2∫03(9−x2) dx\displaystyle 2\displaystyle\int_0^3(9-x^2)\,dx
  4. 4.=2[9x−x33]03=2(27−9)=2×18=36\displaystyle =2\left[9x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=2\times 18=36

채점 포인트

1교점 x=±3\displaystyle x=\pm 3 을 구한 경우3
2구간에서 직선이 위에 있음을 판정한 경우3
3정적분을 계산한 경우3
4최종 답 36\displaystyle 361
계10

실전 조언 · ∣a∣(β−α)36=1×636=36\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{1\times 6^3}{6}=36 으로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 14번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 거리

수직선 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 시각 t (t≥0)\displaystyle t\,(t\ge 0) 에서의 속도가 v(t)=6−2t\displaystyle v(t)=6-2t 이다. 점 P\displaystyle \mathrm{P} 가 출발 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때까지 움직인 거리를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 9\displaystyle 9

해설

  1. 1.운동 방향이 바뀌는 것은 속도의 부호가 바뀔 때이다. v(t)=6−2t=0\displaystyle v(t)=6-2t=0 에서 t=3\displaystyle t=3
  2. 2.0≤t<3\displaystyle 0\le t<3 에서 v(t)>0\displaystyle v(t)>0 , t>3\displaystyle t>3 에서 v(t)<0\displaystyle v(t)<0 이므로 t=3\displaystyle t=3 에서 처음으로 운동 방향이 바뀐다.
  3. 3.0≤t≤3\displaystyle 0\le t\le 3 에서는 속도가 양수이므로 움직인 거리와 위치의 변화량이 같다.
  4. 4.따라서 거리는 ∫03(6−2t) dt=[6t−t2]03=18−9=9\displaystyle \displaystyle\int_0^3(6-2t)\,dt=\left[6t-t^2\right]_0^3=18-9=9

채점 포인트

1v(t)=0\displaystyle v(t)=0 인 t=3\displaystyle t=3 을 구한 경우3
2구간에서 v>0\displaystyle v>0 이라 절댓값이 필요 없음을 밝힌 경우3
3정적분을 계산한 경우3
4최종 답 9\displaystyle 91
계10

실전 조언 · 속도가 한 구간 내내 양수면 ∫∣v∣=∫v\displaystyle \int|v|=\int v 다. 부호를 확인했다는 줄을 남기면 3점이 잡힌다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 21번