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🌱 가천대 예상 논술 3회

스마트팩토리학과

문항

8문항

배점

80점

시간

80분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

  • · 수학은 중간식에 큰 부분점수가 걸려 있다. 어떤 문항은 변형식만 써도 4점, 정리한 식에 6점인데 최종 답은 1점이었다
  • · 배점이 0.5점 단위로 쪼개지고 동치 표현을 인정한다

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1번10점수학Ⅰ · 지수

양수 a\displaystyle a 가 a12+a−12=3\displaystyle a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3 을 만족시킬 때, a+a−1\displaystyle a+a^{-1} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 7\displaystyle 7

해설

  1. 1.주어진 식의 양변을 제곱한다. (a12+a−12)2=32=9\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^2=3^2=9
  2. 2.좌변을 전개하면 a+2⋅a12⋅a−12+a−1\displaystyle a+2\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}+a^{-1}
  3. 3.a12⋅a−12=a0=1\displaystyle a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}=a^0=1 이므로 좌변은 a+2+a−1\displaystyle a+2+a^{-1}
  4. 4.따라서 a+2+a−1=9\displaystyle a+2+a^{-1}=9 이므로 a+a−1=7\displaystyle a+a^{-1}=7

채점 포인트

1양변을 제곱한 경우3
2중간항이 2\displaystyle 2 임을 밝힌 경우3
3a+a−1=7\displaystyle a+a^{-1}=7 로 정리한 경우3
4최종 답 7\displaystyle 71
계10

실전 조언 · 지수 12\displaystyle \dfrac{1}{2} 와 −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} 의 곱은 지수의 합이 0\displaystyle 0 이라 1\displaystyle 1 이다. 이 한 줄이 3점이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 17번

2번10점수학Ⅰ · 상용로그

log⁡2=0.3010\displaystyle \log 2=0.3010 일 때, log⁡5\displaystyle \log 5 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 0.6990\displaystyle 0.6990

해설

  1. 1.5=102\displaystyle 5=\dfrac{10}{2} 이다.
  2. 2.로그의 성질에 의하여 log⁡5=log⁡102=log⁡10−log⁡2\displaystyle \log 5=\log\dfrac{10}{2}=\log 10-\log 2
  3. 3.상용로그이므로 log⁡10=1\displaystyle \log 10=1 이다.
  4. 4.따라서 log⁡5=1−0.3010=0.6990\displaystyle \log 5=1-0.3010=0.6990

채점 포인트

15=102\displaystyle 5=\dfrac{10}{2} 로 고친 경우3
2로그의 차로 분리한 경우3
3log⁡10=1\displaystyle \log 10=1 을 이용한 경우3
4최종 답 0.6990\displaystyle 0.69901
계10

실전 조언 · 상용로그는 밑이 10\displaystyle 10 이라 log⁡10=1\displaystyle \log 10=1 이 공짜로 주어진다. log⁡2\displaystyle \log 2 와 log⁡5\displaystyle \log 5 의 합이 항상 1\displaystyle 1 이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 35번

3번10점수학Ⅰ · 삼각함수

cos⁡θ=13\displaystyle \cos\theta=\dfrac{1}{3} 이고 3π2<θ<2π\displaystyle \dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi 일 때, sin⁡θ\displaystyle \sin\theta 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · −223\displaystyle -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

해설

  1. 1.3π2<θ<2π\displaystyle \dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi 는 제4사분면의 각이므로 sin⁡θ<0\displaystyle \sin\theta<0 이다.
  2. 2.sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 에서 sin⁡2θ=1−(13)2=1−19=89\displaystyle \sin^2\theta=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}
  3. 3.sin⁡θ<0\displaystyle \sin\theta<0 이므로 sin⁡θ=−89=−223\displaystyle \sin\theta=-\sqrt{\dfrac{8}{9}}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

채점 포인트

1제4사분면이므로 sin⁡θ<0\displaystyle \sin\theta<0 임을 밝힌 경우3
2sin⁡2θ=89\displaystyle \sin^2\theta=\dfrac{8}{9} 를 구한 경우3
3부호를 결정해 음의 값을 택한 경우3
4최종 답 −223\displaystyle -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}1
계10

실전 조언 · 각의 범위가 주어지면 부호를 정하라는 뜻이다. 부호를 안 정하면 답이 두 개가 되어 틀린다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 03. 삼각함수 6번

4번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

lim⁡x→∞3x2−x+12x2+5\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-x+1}{2x^2+5} 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 32\displaystyle \dfrac{3}{2}

해설

  1. 1.∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} 꼴이므로 분모의 최고차항 x2\displaystyle x^2 으로 분모와 분자를 나눈다.
  2. 2.3x2−x+12x2+5=3−1x+1x22+5x2\displaystyle \dfrac{3x^2-x+1}{2x^2+5}=\dfrac{3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2+\dfrac{5}{x^2}}
  3. 3.x→∞\displaystyle x\to\infty 일 때 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 , 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^2}\to 0 이다.
  4. 4.따라서 극한값은 3−0+02+0=32\displaystyle \dfrac{3-0+0}{2+0}=\dfrac{3}{2}

채점 포인트

1∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} 꼴임을 밝힌 경우2
2분모·분자를 x2\displaystyle x^2 으로 나눈 경우4
31x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 을 적용한 경우3
4최종 답 32\displaystyle \dfrac{3}{2}1
계10

실전 조언 · 분모와 분자의 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 답이다. 다만 과정을 안 쓰면 4점을 버린다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 22번

5번10점수학Ⅱ · 접선의 방정식

곡선 y=x3−3x2+4\displaystyle y=x^3-3x^2+4 위의 점 (1, 2)\displaystyle (1,\,2) 에서의 접선이 x\displaystyle x 축과 만나는 점의 x\displaystyle x 좌표를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 53\displaystyle \dfrac{5}{3}

해설

  1. 1.y′=3x2−6x\displaystyle y'=3x^2-6x 이므로 x=1\displaystyle x=1 에서의 접선의 기울기는 3−6=−3\displaystyle 3-6=-3 이다.
  2. 2.점 (1, 2)\displaystyle (1,\,2) 를 지나고 기울기가 −3\displaystyle -3 인 직선의 방정식은 y−2=−3(x−1)\displaystyle y-2=-3(x-1) , 즉 y=−3x+5\displaystyle y=-3x+5
  3. 3.x\displaystyle x 축과 만나는 점은 y=0\displaystyle y=0 인 점이므로 −3x+5=0\displaystyle -3x+5=0
  4. 4.따라서 x=53\displaystyle x=\dfrac{5}{3}

채점 포인트

1접선의 기울기 −3\displaystyle -3 을 구한 경우3
2접선의 방정식 y=−3x+5\displaystyle y=-3x+5 를 구한 경우3
3y=0\displaystyle y=0 을 대입한 경우3
4최종 답 53\displaystyle \dfrac{5}{3}1
계10

실전 조언 · 점 (1, 2)\displaystyle (1,\,2) 가 곡선 위에 있는지 먼저 확인한다(1−3+4=2\displaystyle 1-3+4=2 ✓). 곡선 위의 점이 아니면 접점을 미지수로 놓아야 한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 7번

6번10점수학Ⅱ · 정적분

∫01(x+1)3 dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x+1)^3\,dx 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 154\displaystyle \dfrac{15}{4}

해설

  1. 1.(x+1)3\displaystyle (x+1)^3 의 부정적분 중 하나는 (x+1)44\displaystyle \dfrac{(x+1)^4}{4} 이다. (ddx(x+1)44=(x+1)3\displaystyle \dfrac{d}{dx}\dfrac{(x+1)^4}{4}=(x+1)^3 이므로 맞다.)
  2. 2.따라서 ∫01(x+1)3 dx=[(x+1)44]01\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x+1)^3\,dx=\left[\dfrac{(x+1)^4}{4}\right]_0^1
  3. 3.=244−144=164−14\displaystyle =\dfrac{2^4}{4}-\dfrac{1^4}{4}=\dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4}
  4. 4.=154\displaystyle =\dfrac{15}{4}

채점 포인트

1부정적분 (x+1)44\displaystyle \dfrac{(x+1)^4}{4} 을 구한 경우3
2미분해 검산한 경우 또는 전개해서 적분한 경우3
3위끝·아래끝을 대입해 계산한 경우3
4최종 답 154\displaystyle \dfrac{15}{4}1
계10

실전 조언 · 전개해서 ∫01(x3+3x2+3x+1)dx=14+1+32+1=154\displaystyle \displaystyle\int_0^1(x^3+3x^2+3x+1)dx=\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{15}{4} 로도 같다. 검산용으로 쓴다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 4번

7번10점수학Ⅱ · 정적분의 활용

곡선 y=x2−1\displaystyle y=x^2-1 과 x\displaystyle x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

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정답 · 43\displaystyle \dfrac{4}{3}

해설

  1. 1.x2−1=0\displaystyle x^2-1=0 에서 x=−1\displaystyle x=-1 또는 x=1\displaystyle x=1 이므로 곡선과 x\displaystyle x 축은 두 점에서 만난다.
  2. 2.−1<x<1\displaystyle -1<x<1 에서 x2−1<0\displaystyle x^2-1<0 이므로 곡선이 x\displaystyle x 축 아래에 있다.
  3. 3.따라서 넓이는 ∫−11{−(x2−1)} dx=∫−11(1−x2) dx\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{1}\{-(x^2-1)\}\,dx=\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx
  4. 4.피적분함수가 우함수이므로 2∫01(1−x2) dx=2[x−x33]01=2(1−13)=43\displaystyle 2\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\,dx=2\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}

채점 포인트

1교점 x=±1\displaystyle x=\pm 1 을 구한 경우3
2곡선이 x\displaystyle x 축 아래임을 밝히고 부호를 뒤집은 경우3
3정적분을 계산한 경우3
4최종 답 43\displaystyle \dfrac{4}{3}1
계10

실전 조언 · 이차함수와 x\displaystyle x 축이면 ∣a∣(β−α)36=1×236=43\displaystyle \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{1\times 2^3}{6}=\dfrac{4}{3} 로 검산된다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 1번

8번10점수학Ⅱ · 속도와 위치

수직선 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 시각 t (t≥0)\displaystyle t\,(t\ge 0) 에서의 속도가 v(t)=3t2−6t\displaystyle v(t)=3t^2-6t 이다. 시각 t=0\displaystyle t=0 에서 t=3\displaystyle t=3 까지 점 P\displaystyle \mathrm{P} 의 위치의 변화량을 구하는 과정을 서술하시오. (10점)

정답 · 해설 · 채점 포인트 보기

정답 · 0\displaystyle 0

해설

  1. 1.위치의 변화량은 속도를 그대로 적분한 것이다. 즉 ∫03v(t) dt\displaystyle \displaystyle\int_0^3 v(t)\,dt
  2. 2.∫03(3t2−6t) dt=[t3−3t2]03\displaystyle \displaystyle\int_0^3(3t^2-6t)\,dt=\left[t^3-3t^2\right]_0^3
  3. 3.=(27−27)−0=0\displaystyle =(27-27)-0=0
  4. 4.따라서 위치의 변화량은 0\displaystyle 0 이다. 즉 t=3\displaystyle t=3 에서 점 P\displaystyle \mathrm{P} 는 출발점으로 돌아온다.

채점 포인트

1위치의 변화량이 ∫03v(t)dt\displaystyle \displaystyle\int_0^3 v(t)dt 임을 밝힌 경우3
2부정적분 t3−3t2\displaystyle t^3-3t^2 을 구한 경우3
3위끝·아래끝을 대입해 계산한 경우3
4최종 답 0\displaystyle 01
계10

실전 조언 · 위치의 변화량이 0\displaystyle 0 이라고 안 움직인 게 아니다. 움직인 거리는 ∫03∣v∣dt=8\displaystyle \displaystyle\int_0^3|v|dt=8 로 0\displaystyle 0 이 아니다 — 두 개념을 반드시 구분한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 07. 정적분의 활용 24번