🌱 가천대 예상 논술 2회

해설

1. 1.$\displaystyle 50=2\times 25=2\times 5^2$ 이다.
2. 2.로그의 성질에 의하여 $\displaystyle \log_5 50=\log_5 2+\log_5 5^2$
3. 3.$\displaystyle \log_5 5^2=2$ 이고 $\displaystyle \log_5 2=a$ 이므로
4. 4.$\displaystyle \log_5 50=a+2$

채점 포인트

해설

1. 1.등비수열에서 $\displaystyle a_1a_3=a_2^2$ 이므로 $\displaystyle a_1a_2a_3=a_2^3=64$ , 즉 $\displaystyle a_2=4$
2. 2.따라서 $\displaystyle a_1a_3=a_2^2=16$ 이고, 조건에서 $\displaystyle a_1+a_3=10$ 이다.
3. 3.합이 $\displaystyle 10$ , 곱이 $\displaystyle 16$ 이므로 $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_3$ 은 이차방정식 $\displaystyle t^2-10t+16=0$ 의 두 근이다. $\displaystyle (t-2)(t-8)=0$ 에서 $\displaystyle t=2$ 또는 $\displaystyle t=8$
4. 4.$\displaystyle a_1<a_3$ 이므로 $\displaystyle a_1=2$ , $\displaystyle a_3=8$ 이고, 공비를 $\displaystyle r$ 라 하면 $\displaystyle a_2=a_1r$ 에서 $\displaystyle 4=2r$ , 즉 $\displaystyle r=2$
5. 5.따라서 $\displaystyle a_5=a_1r^4=2\times 2^4=32$

채점 포인트

해설

1. 1.사인법칙에 의하여 $\displaystyle \sin A=\dfrac{a}{2R}$ , $\displaystyle \sin B=\dfrac{b}{2R}$ , $\displaystyle \sin C=\dfrac{c}{2R}$ 이므로 $\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$
2. 2.따라서 $\displaystyle a:b:c=3:4:5$ 이므로 양수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle a=3k$ , $\displaystyle b=4k$ , $\displaystyle c=5k$ 로 놓을 수 있다.
3. 3.코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{9k^2+16k^2-25k^2}{2\times 3k\times 4k}$
4. 4.$\displaystyle =\dfrac{0}{24k^2}=0$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=(2^{-1})^{x}=2^{-x}$ 이고 $\displaystyle 8=2^3$ 이므로 $\displaystyle 2^{-x}=2^3$
2. 2.밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\displaystyle -x=3$ , 즉 $\displaystyle x=-3$
3. 3.$\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}9$ 에서 $\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}$ , $\displaystyle 9=3^2$ 이므로 $\displaystyle \log_{3^{-1}}3^2=\dfrac{2}{-1}=-2$
4. 4.따라서 두 값의 합은 $\displaystyle -3+(-2)=-5$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle x\ne 1$ 에서 $\displaystyle f$ 는 연속이므로 $\displaystyle x=1$ 에서의 연속만 따지면 된다.
2. 2.$\displaystyle x=1$ 에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)=a$ 이어야 한다.
3. 3.$\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 이고 $\displaystyle x\ne 1$ 이므로 약분하면 $\displaystyle f(x)=x^2+x+1$
4. 4.$\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}(x^2+x+1)=1+1+1=3$ 이므로 $\displaystyle a=3$

채점 포인트

해설

1. 1.분모를 $\displaystyle 2h$ 로 맞추기 위해 분모와 분자에 $\displaystyle 2$ 를 곱한 꼴로 고친다.
2. 2.$\displaystyle \dfrac{f(1+2h)-f(1)}{h}=2\times\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h}$
3. 3.$\displaystyle h\to 0$ 일 때 $\displaystyle 2h\to 0$ 이므로 미분계수의 정의에 의하여 $\displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h}=f'(1)$
4. 4.$\displaystyle f'(x)=3x^2+2$ 이므로 $\displaystyle f'(1)=3+2=5$
5. 5.따라서 구하는 값은 $\displaystyle 2f'(1)=2\times 5=10$

채점 포인트

해설

1. 1.적분 구간이 같으므로 두 정적분을 하나로 묶을 수 있다.
2. 2.$\displaystyle \displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx-\displaystyle\int_0^2(x^2-3)\,dx=\displaystyle\int_0^2\{(x^2+1)-(x^2-3)\}\,dx$
3. 3.$\displaystyle =\displaystyle\int_0^2 4\,dx=\left[4x\right]_0^2$
4. 4.$\displaystyle =8-0=8$

채점 포인트

해설

1. 1.$\displaystyle -x^2+4=0$ 에서 $\displaystyle x^2=4$ , 즉 $\displaystyle x=-2$ 또는 $\displaystyle x=2$ 이므로 곡선과 $\displaystyle x$ 축은 두 점에서 만난다.
2. 2.$\displaystyle -2<x<2$ 에서 $\displaystyle -x^2+4>0$ 이므로 곡선이 $\displaystyle x$ 축 위에 있다.
3. 3.따라서 넓이는 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^2+4)\,dx$ 이고, 피적분함수가 우함수이므로 $\displaystyle 2\displaystyle\int_{0}^{2}(-x^2+4)\,dx$
4. 4.$\displaystyle =2\left[-\dfrac{x^3}{3}+4x\right]_0^2=2\left(-\dfrac{8}{3}+8\right)=2\times\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$

채점 포인트