🏫 상명대 예상 논술 10회

지능·데이터융합학부 휴먼AI공학전공 (자연A)

문항

8문항

배점

80점

시간

60분

출제 범위

수학Ⅰ · 수학Ⅱ

채점은 이렇게 된다

· ️ 수학 단답 하위문항은 **부분점수가 없다**. 채점표가 최종 값 한 줄로 끝난다 — 계산 실수 하나로 그 하위문항 배점(4.7~5.3점) 전액이 날아간다
· 반대로 '과정을 서술하시오' 하위문항은 0.6~2.0점 단위로 잘게 부분점수가 붙는다. 수학 100점 중 16~18점이 이 구간이다

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1번10점수학Ⅰ · 지수

$\displaystyle 5^{0}+2^{-2}$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{5}{4}$

해설

1. $\displaystyle a\ne 0$ 일 때 $\displaystyle a^0=1$ 이므로 $\displaystyle 5^0=1$
2. $\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$
3.따라서 $\displaystyle 1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle \dfrac{5}{4}$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · $\displaystyle 5^0$ 을 $\displaystyle 0$ 으로 쓰는 실수가 의외로 많다. $\displaystyle 0$ 이 아닌 수의 $\displaystyle 0$ 제곱은 항상 $\displaystyle 1$ 이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 5번

2번10점수학Ⅰ · 상용로그

$\displaystyle \log 25+\log 4$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 2$

해설

1.밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱이므로 $\displaystyle \log(25\times 4)=\log 100$
2.상용로그는 밑이 $\displaystyle 10$ 이고 $\displaystyle 100=10^2$ 이므로 $\displaystyle \log 100=2$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 2$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · $\displaystyle 25\times 4=100$ 이 되도록 만든 문제다. 각각 계산하려 들면 정수가 안 나온다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 01. 지수와 로그 36번

3번10점수학Ⅱ · 함수의 극한

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5x+1}{x-3}$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle 5$

해설

1. $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ 꼴이고 분모와 분자가 모두 일차이므로 최고차항 계수의 비가 극한값이다.
2.분모와 분자를 $\displaystyle x$ 로 나누면 $\displaystyle \dfrac{5+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$ 이고, $\displaystyle x\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{5}{1}=5$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle 5$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 분모와 분자의 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 답이다. 상수항은 영향을 주지 않는다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 01. 함수의 극한 23번

4번10점수학Ⅰ · 수열의 합

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle T_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k(k+2)$ 라 하자.

① $\displaystyle T_3$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.)

② $\displaystyle T_n$ 을 $\displaystyle n$ 에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle 26$ ② $\displaystyle \dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

해설

1.① $\displaystyle T_3=1\times 3+2\times 4+3\times 5=3+8+15=26$
2.② $\displaystyle k(k+2)=k^2+2k$ 이므로 $\displaystyle T_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2+2\sum\limits_{k=1}^{n}k$
3.② $\displaystyle =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\times\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(n+1)$
4.② 공통인수 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{6}$ 으로 묶으면 $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{6}\left\{(2n+1)+6\right\}=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6}$
5.② 검산: $\displaystyle n=3$ 이면 $\displaystyle \dfrac{3\times 4\times 13}{6}=\dfrac{156}{6}=26$ 으로 ①과 일치한다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle T_3=26$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② 전개해 두 시그마로 나눈 경우	1.5
3	② 두 공식을 정확히 대입한 경우	1.5
4	② 공통인수로 묶어 정리한 경우	1
5	② 검산한 경우	1
계		10

실전 조언 · ①의 값으로 ②를 검산할 수 있게 설계돼 있다. 문자식 정리 뒤에는 반드시 숫자를 넣어 확인한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 06. 수열의 합과 수학적귀납법 19번

5번10점수학Ⅰ · 코사인법칙

삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=5$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=7$ 이다.

① $\displaystyle \cos\mathrm{B}$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.)

② $\displaystyle \angle\mathrm{B}$ 의 크기를 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ ② $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}$

해설

1.① 각 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 끼고 있는 두 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=5$ 이고 마주 보는 변은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}=7$ 이다. 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\mathrm{B}=\dfrac{9+25-49}{2\times 3\times 5}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2}$
2.② 삼각형의 내각이므로 $\displaystyle 0<\mathrm{B}<\pi$ 이다.
3.② 이 범위에서 $\displaystyle \cos\mathrm{B}=-\dfrac{1}{2}$ 인 각은 하나뿐이고 그 값은 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}$ 이다.
4.② 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{B}=\dfrac{2\pi}{3}$ 이다. $\displaystyle \cos\mathrm{B}<0$ 이므로 둔각이고, 이는 가장 긴 변 $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}}$ 의 맞은편 각이라는 사실과 맞다.

채점 포인트

1	① $\displaystyle \cos\mathrm{B}=-\dfrac{1}{2}$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② 내각의 범위 $\displaystyle 0<\mathrm{B}<\pi$ 를 밝힌 경우	2
3	② 그 범위에서 각을 확정한 경우	2
4	② 최종 답 $\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}$	1
계		10

실전 조언 · 각의 범위를 밝히는 줄이 2점이다. 범위가 없으면 코사인값 하나에 각이 여럿 대응한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 04. 사인법칙과 코사인법칙 15번

6번10점수학Ⅰ · 지수방정식

$\displaystyle 4^{x}=2$ 를 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{1}{2}$

해설

1. $\displaystyle 4=2^2$ 이므로 $\displaystyle 4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
2. $\displaystyle 2^{2x}=2^1$ 에서 밑이 같으므로 $\displaystyle 2x=1$ , 즉 $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · $\displaystyle 4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$ 로 검산된다. 지수 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 은 제곱근이다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅰ 02. 지수함수와 로그함수 17번

7번10점수학Ⅱ · 도함수의 활용

함수 $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

① $\displaystyle f'(x)=0$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값을 모두 구하시오. (답만 쓰시오.)

② 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

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정답 · ① $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=3$ ② $\displaystyle 4$

해설

1.① $\displaystyle f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ 이므로 $\displaystyle f'(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=3$
2.② $\displaystyle x<1$ 에서 $\displaystyle f'>0$ , $\displaystyle 1<x<3$ 에서 $\displaystyle f'<0$ 이므로 $\displaystyle x=1$ 의 좌우에서 $\displaystyle f'$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀐다.
3.② 따라서 $\displaystyle x=1$ 에서 극대이다.
4.② 극댓값은 $\displaystyle f(1)=1-6+9=4$

채점 포인트

1	① $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=3$ (단답이라 부분점수 없음)	5
2	② 부호 변화로 $\displaystyle x=1$ 에서 극대임을 밝힌 경우	2
3	② $\displaystyle f(1)$ 을 계산한 경우	2
4	② 최종 답 $\displaystyle 4$	1
계		10

실전 조언 · $\displaystyle f(x)=x(x-3)^2$ 으로 인수분해되므로 극솟값이 $\displaystyle f(3)=0$ 이다. 그래프가 $\displaystyle x$ 축에 접한다.

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 04. 도함수의 활용(1) 12번

8번10점수학Ⅱ · 정적분

$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2+x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (답만 쓰시오.) (10점)

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정답 · $\displaystyle \dfrac{16}{3}$

해설

1.적분 구간이 원점에 대하여 대칭이다. $\displaystyle x$ 는 기함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}x\,dx=0$
2. $\displaystyle x^2$ 은 우함수이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{2}x^2\,dx=2\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=2\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$
3.따라서 값은 $\displaystyle \dfrac{16}{3}+0=\dfrac{16}{3}$

채점 포인트

1	최종 값 $\displaystyle \dfrac{16}{3}$ (단답 문항이라 부분점수가 없다)	10
계		10

실전 조언 · 직접 계산해도 같다. $\displaystyle \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^{2}=\left(\dfrac{8}{3}+2\right)-\left(-\dfrac{8}{3}+2\right)=\dfrac{16}{3}$

연계 · 2027학년도 수능특강 수학Ⅱ 06. 부정적분과 정적분 10번